Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 107
Скачиваний: 1
■ é r ) K ( ^ ) - K C O ) |
А . |
Сравнивая полученное выражение с (4 .5 ), |
видим, что |
эта формула дает приближенное значение интеграла,полу ченного из (4 .5) путем замены 7 на 7 +А и вычис ленного методом трапеций.Это обстоятельство позволяет применить формулы для остаточного члена при численном интегрировании.Обозначим через diJfXj изменение диспер сии оценки X вследствие замены непрерывной реализации дискретными отсчетами. Как известно, ошибка, возникаю щая при численном интегрировании методом трапеций с магом А , моает быть представлена так:
* " T r Z f V ‘ - y ) >
где |
h ° |
. N |
« в а т я ютервале |
.0,1). Применяя эту формулу |
к нашему случаю, получим
.2 т [2
)л
-у)к(г)<і-Z . (4.10)
Предположим, что интервал выбран достаточно малым. Тогда сушу в (4.10) можно рассматривать как приближен ное значение интеграла от
Ы Ь -
2 0 7
взятого методом прямоугольников. То есть приближенно можно написать: Т+&
о
Т+й Г
* j t f c  h ^ - т Ц 1- т )к № |
. |
|
о |
о |
|
Разлагая правую часть полученного равенства по сте |
||
пеням Л и сохраняя |
только линейные и квадратичные |
|
члены, получим |
^ |
|
â I ) [ x ] ^ ( A ä - 2 ß ü ) j T 1 |
(ч.П) |
|
О
K ( * ) - - g r K ( T ) ■
Так как выражение (4 .II) является полиномом второй степени относительно Л , то при
|
|
Л |
В |
|
|
<Ул[Х] |
^ |
^ m i n |
А |
|
|
ю»е«т минимальное |
значение, равное |
|
|||
|
|
|
|
• |
с * . і я |
При достаточно |
больном |
Т |
знак отноиения ~ |
опре |
|
деляѳтся |
знаком числителя. |
Поэтому приЬ > 0 можно вы |
|||
брать шаг дискретности Д - й опт , при котором |
S D |
||||
2 0 8
будет |
отрицательный и, следовательно, дисперсия оценки |
|||||
X |
, |
полученной на |
(4 .2 ), |
будет меньше дисперсии,по |
||
лученной по (4 .4 ). |
Результаты |
расчетов, |
выполненных |
|||
по |
изложенной выше методике, |
показывает, |
что выигрыш |
|||
в точности определения^ |
уменьшается с |
ростом Г , а |
||||
общий характер зависимости нормированной средней квад ратической ошибки оценки математического ожидания вид, представленный на рис.24.
Перейдем к нахождению оценки корреляционной функции X ( t ) • Случайную ф ункциях ^) пока не будем считать стационарной.
По определению,
n(t,t,)= /* {[ x ( t ,) - W ] [ х и ,) - X ( t , )]j >
поэтому для нахождения оценки K(jt~t2) мохно исходить
из тех же соображений, которые были положены в основу
14
209
наховдения X ( t ) • При наличии п |
реализаций длиной Г |
оценка К (t, t 2 ) может быть найдена по формуле
/='
ЕслиX ( t i ) неизвестно, то в предыдущей формуле вместо
него можно поставить его оценку и тогда
) - * ( & ] > (« -is )
1
где, как и обычно в подобных задачах, множитель — за-
менен на |
У |
п |
|
для того, чтобы оценка была несмещенной. |
п-1
Выполняя перемножение, получим
Г 1
Рассмотрим теперь методы нахожденія оценки корреля ционной функции стационарной случайной функции. Пусть в нашем распоряжении имеется одна реализацияx ( t ) дли тельностью (О 7 Т ) , а математическое ожидание X ( t ) из
вестно. Теперь
т-т
K { Z ) = j ^ z [ [ * ( 0 - X ] [ x ( t + T ) - X ] c t t , |
|
а если X ( t ) - неизвестно, то |
|
г-г |
|
I [ c ( t ) - X ] [ x ( t + Z ) - X ] c / t . |
(,4. Ь ) |
2ГО
Можно вести обработку опытного материала и иначе: сначала получить оценку математического ожидания произ
ведения x ( t ) x ( t + T ) I а затем перейти к оценке корреля
ционной функции, воспользовавшись известным соотношени ем между центральным и начальным моментами второго по рядка:
K( T ) = M[ x ( t ) x ( t + T ) ] -( X ) 2 •
Расчетная формула при этом будет иметь вид
|
T-Z |
_ |
|
|
1 |
|
|
|
x(t)x(ti- Z)dt - (X ) 2 |
(4.16) |
|
|
О |
|
|
|
о |
|
|
Формула (16) |
не совпадает |
с (15), однако при больших |
|
Т результаты, |
полученные |
по этим формулам, |
будут |
практически одинаковыми. Проверим несмещенность оценки /С (Т ) . Вычислим математическое ожидание обеих частей
(4.16)«
м [к і т )]= к (т ) - я [х ] ■
Для эргодических случайных процессов (€ігг>К('і)=-О)
г ~ |
1 |
|
г -— о « . |
|
дисперсия D[X |
\ |
» |
|
|
|
|
по доказанному ранее, стремится к |
||
нулю при росте |
Т . |
Следовательно, |
|
|
€ i m M [ K ( z j \ = K ( Z ) » |
|
|||
Отметим, что |
|
в отличие от X математическое |
ожида |
|
ние сценки К (Z) ра0НО К ( Т ) только в пределе. |
Чтобы |
|||
получить более простую окончательную формулу дисперсии оценки корреляционной функции, примем, что при вычисле
нии X |
используется |
не |
вся реализация, а только за |
пись за |
время Т - Т |
, |
то есть |
|
|
|
Г»ІІ |
г-г
X- т-г |
x ( t ) d t . |
|
|
|
|
||
При сделанном допущении |
|
|
|
T-Z T-Z |
|
|
|
К(Th(г- t r J |
|
. |
(4.17) |
О О |
|
|
|
Определяя дисперсно К ( 7 ) |
по общим правилам, |
будем |
|
иметь
,2
ф(т)]-/>і{[#(т)]2}-{м [Х(т )]]
Подставляя |
сюда H ( Z ) из (4 .17), |
получим |
|||
|
|
т-г |
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
• [*(?3 * 7)-*(U |
|
dtlclt2alt3alt<f- |
|
||
- { K ( z ) - M |
\ - £ |
|
r ) K < a J t f |
■ |
|
|
о |
|
|
|
|
Полученная |
формула показывает, что для нахождения |
||||
|
)]J |
|
|
|
|
1)[К(Т)] надо знать |
моменты до четвертого порядка |
||||
включительно. Если же процесс нормальный, то эти мо менты можно выразить через математическое ожидание и корреляционную функцию. Так как для любых четырех нор мальных величин X, і х 2 і х 3 ; х ^
212
M \ x t х г х 3 x ^ J |
К)2 K3L/ + К/3 |
+Kfq Кгз +Xt Х 2 |
Кзі + |
||
+Хг Х3 КЧі + |
W |
2^ X |
z X 4 K/3+ \ X , K 12+ X ,X ,K 23+ |
||
+ X , X g X s X t . |
|
|
|
|
|
Понимая под |
х , |
, х 2 |
, х 3 , |
соответственно x ( t , ) , |
|
x ( t 3) y \ x ( t ! + T ) - x ( t 2) ] |
И [ х ( ^ г ) - х ( ^ ) ] |
. п о |
|||
лучим |
|
|
|
|
|
D [K (r)] |
(тг р[г/((т,)-к(г-г,)-/<(('Т, |
|
|||
|
V |
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
г_
t |
^ ( Т г Ъ ) [ к * ( Ъ ) +к ( т + Ъ ) к (? - т , ) \ ^ |
V |
|
в |
|
K ( t f t l)K(É3~t/ - T ) o t t /c/t2 clt3 , |
(4 .18) |
|
J J |
|
|
|
|
|
О |
|
|
Т,= т- |
т . |
|
Если X известно |
точно, то аналогичные рассуадения |
|
дают
т-і
я[Х(г)]-^^{{T-z-r^^bKCT-zYiztz^dz,.
(4 .19)
213