Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

Из формул (4.18) и (4.19) следует, что при наличии эргодичности нормального процесса x ( t )

-é’im D [Я ('Z ) \ = 0 у

Т ——с*0 1

т .е . оценка К ( Т ) является состоятельной и несмещенной. Вид формулы (4.19) показывает, что точность ординат

214

щей от длины записи Т . При<£-~0 *з (*.20) получается выражение для дисперсии измеряемой величины в зависи­ мости от времени осреднения;

Kx ( 0 ) = K ( 0 ) - j t ( T - t ) K ( t ) c t t .

Рассмотрим особенности оценки корреляционной функп»и по дискретному числу ординат случайного процесса.Пусть

Х = 0 , а X {t) - нормальный процесс. Тогда

К(Z U — V —

т- £ +і

Определяя дисперсию правой части и выполняя преоб­ разования, аналогичные тем, которые были сделаны при нахождении оценки математического ожидания, можно по­ лучить формулы для расчета оптимального интервала дискретности, соответствующего минимальному значению дисперсии 2?[/Г(Т)] . В этом случае оценка, полученная

по дискретным отсчетам, будет точнее оценки, полученной по всей реализации. Однако выигрыш в точности здесь очень быстро уменьшается с ростом Т.

215

использовать непрерывную реализацию случайного процесса. Делается это с помощью специальных приборов - корреля­ торов. Большинство корреляторов вычисляет интегралы, дающие оценки математического ожидания и корреляционной функции стационарного процесса:

T-Z

K(Z) =^ - ^ [ x ( t ) - x ] [ x ( t +Z )-X ]c lt -

О

Некоторые корреляторы вычисляют значение интеграла

Принципиальная схема таких приборов состоит в сле­ дующем. С подвижной ленты, на которой записана реализа­ ция, снимают значения ординат случайной функции, соот­ ветствующих двум моментам времени, сдвинутым относи­ тельно друг друга на интервал 'с • Величину 2Г можно менять в соответствующих .пределах. Затем значения ор­ динат центрируются и перемножаются. Полученное произ­ ведение запоминается в сумматоре и складывается с ос­ тальными парными произведениями. Далее находится сред­ нее значение суммы, которое и будет соответствовать заданной величиной 'ZT , ординате корреляционной функ­ ции. Перечисленные действия могут выполняться с по-

216

мощью механических, электро-механических и электронных счетно-решающих устройств.

Независимо от технической реализации указанный выше принцип работы коррелятора остается одним и тем же. Следовательно, формулы для оценки точности математиче­ ского одидания и корреляционной функции остаются в силе и в данном случае. Однако надо помнить, что эти формулы получены в предположении стационарности случайной функ­ ции. Пусть, например, нестационарность вызвана тем, что математическое ожидание процесса непостоянно, т . е .

M [X (i)Y j\ x (t)c tt = a + j t T .

о

Так же возникает систематическая ошибка и при вы­

числении корреляционной функции:

т-г

м [ к ( Ѵ ] - К ( Т ) ^ ( Т - Т - Т , ) [ к %) +

о

г К{г- rt )]dz,+ ~ і\т - z f - j a S r .

Второе слагаемое (для эргодических процессов) здесь будет стремиться к нулю, а третье будет расти по квад­ ратичному закону. Таким образом, если мы считаем, что

определении К(Т) возникнет систематическая ошибка,ко-«

торая будет расти с ростом Т и будет зависеть от Z . Кроме схемы корреляторов, пригодных для обработки любых стационарных случайных функций, существуют кор­ реляторы, специально предназначенные для обработч

217

реализаций только стационарных нормальных процессов.

Вычисление оценки нормированной корреляционной функ­ ции по (4.21) чояет быть автоматизировано следующим образом. Пусть дана реализация центрированной стацио­ нарной случайной функции и эта реализация записана ча подвижной лепте. Предположим, что в точках А и 6 , отстоящих друг от друга на расстоянии *27 , имеются

?Т8

устройства, фиксирующие знак ординат. Если перемещать ленту с постоянной скоростью и замыкать цепь счетчика времени только тогда, когда знаки функции в точках А и ß разные, то отношение времени Г , отсчитанного

счетчиком, ко всему времени движения ленты даст оценку искомой вероятности £ :

Устройство такого коррелятора значительно проще,чем устройство коррелятора предыдущего типа. После получе­ ния корреляционной функции в виде таблицы или графика возникает задача аппроксимации данной характеристики с помощью какого-либо подходящего выражения. Выражения,

используемые для такой аппроксимации, должны удовлетво­ рять общим свойствам корреляционных функций и отображать характерные особенности полученной кривой К(Т) .Однако высокая точность приближения к найденному значению

аппроксимирующего выражения и необходимая точность аппроксимации 7?(Ѵ) определяются той задачей, для ре­ шения которой требуется значение корреляционной функ­ ции.

Например, если случайная функция, характеристики которой определяются из опыта, входит в правую часть дифференциального уравнения, решение которого и являет­ ся объектом исследования, то обычно имеет значение только общий характер Л'('Г) • Если же требуется опре­ делить корреляционную функцию производной случайного процесса, то в качестве аппроксимирующего выражения

2 1 9

следует подбирать формулы, соответствующие дифферен­ цируемому процессу.

При подборе могут быть использованы следующие по­ нятия приближения.

I . В ряде указанных точек разность между корреляцио ной функцией и аппроксимирующим выражением должна об­

ращаться в нуль:

п

E W i C V - x W - o .

і=0

Здесь - некоторые постоянные вещественные числа і

-заданная система линейно-независимых функций.

2. В случае степенных приближений задаются условием, чтобы на заданном интервале интеграл

принимал значения, мало отличающиеся от 0 . При т - 2 приходим к так называемому квадратическому приближению. 3. В случае равномерного (наилучшего) приближения

исходят из условия малой величины разности

п

^ С і % ( т ) - К ( г ) ч е

в любой точке. С практической точки зрения интересна аппроксимация корреляционной функции в виде суммы

п

г=о

220