Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 103
Скачиваний: 1
где i cL; t “ параметры, подлежащие определе
нию. При подборе параметров основное внимание уделяет ся начальной части кривой, а расхождение аппроксимирую щего выражения с корреляционной функцией при больших Z может считаться допустимым.
Например, пусть в качестве аппроксимирующего выраже ния принято
Потребуем, чтобы (4.22) |
совпадала с корреляционной |
|||
функцией в начальной |
точке |
и имела нуль в той желточке, |
||
что и К (Т ) |
при £"= % |
, и чтобы в точке Т = Т 2 К (Т г ) |
||
имела |
ту же ординату, что |
и К (с). Выполнение этих ус |
||
ловий |
дает |
уравнения: |
|
|
Из первого уравнения следует, что
d .~ ß c t < ^ ß \ i , I •
И задача сводится к решению одного уравнения с одним неизвестным, что может быть осуществлено графически. Возможны и другие способы подбора значений с*, и ß по найденному графику К (Т ) . Кроме корреляционной функции
на практике часто пользуются так называемой структур ной функцией, которая вычисляется по следующей формуле:
о
Эта характеристика показывает, как неняется разброс ординат случайной функции при увеличении интеграла Z.
6 отличие от корреляционной функции структурная функция является ограниченно возрастающей. В самой общем слу чае ее график имеет вид, представленный на рис.25.
ß т
Рис.25
С помощью структурной функции в гидрометеорологии и океанографии характеризуют изменчивость гидрометеоэлемента по времени или в пространстве. По известной корреляционной функции структурная функция находится просто:
ß (Т) = М [x(t) ~cc(t +'Г)]2',
О». 2*0
ß (T ) = 2 [к(0)~К(<с)] .
Таким образом, зная корреляционную функцию, можно легко получить значение структурной функции для любого Z . Однако на практике иногда бывает целесообразно непосредственно определять структурную функцию по ре
222
зультатам опытов, так как такой образ действий имеет некоторые преимущества.
Предположим, что в нашем распоряжении имеется за пись нескольких реализаций стационарной случайной^
функцииx(t) за интервал |
0,Т |
. Вычислим значение ß(T ) |
по каждой реализации, а |
затем |
осредним его по всем за |
писям. Теперь |
|
|
В ( T h ^ [x(t)~x(t+T)J alt,
Т-Т
где черта обозначает осреднение по большому числу за
писей
г-Г
ß(Th |
\x 2(t) ~ 2 x ( t ) x ( t + Т) + X |
t . |
|
U |
|
|
О |
|
Здесь х Ч і) =x 2( t * T) = R j p ) у т х2 |
- среднее зна |
|
чение дисперсии, а
x ( t ) x ( t + T ) = Kx (Z )+ m 2x
и, таким образом, окончательно
№ ) = 2[кх (О) - КХ(Т)] -
Как видим, с точностьп до постоянного множителя, значение структурной функции при увеличении числа за писей стремится к истинному значение этой характери
стики.
Помимо автокорреляционной функции, которая показыва ет, как изменяется связь между ординатами одной и той же реализации, на практике представляет интерес опре деление взаимных корреляционных функций, показывающих
223
изменение связи между ординатами различных случайных функций, например между проекциями вектора скорости течения на меридиан и параллель в одной точке и на одном горизонте, между проекциями вектора скорости течения на разных горизонтах или в разных точках.
Получать взаимные корреляционные функции можно с помощью тех же методов, что и автокорреляционные.Един ственный разницей здесь будет то, что вместо ординат одной и той же случайной функции, разделенных проме^т- ком 7 , используются ординаты двух различных случай ных функций.
Б отношении аппроксимации взаимной корреляционной функции действуют те же правила, что и для автокорреля ционной. Изучение этой важной характеристики позволяет выполнять прогноз какого-либо элемента, фиксация кото рого невозможна по измеренным значениям другого элемен та.
Для определения оценки спектральной плотности можно или предварительно найти оценку К(Т) и затем вычислить
S(co) с помощью преобразования по Фурье или с самого начала вести обработку реализаций случайной^функции так, чтобы сразу находить ординаты оценки S (со) .
Если оценка S(co) определяется по предварительно най
денной К (7 ) , то возможно или предварительно аппрокси
мировать К(7) соответствующим аналитическим выражением,
или исходить непосредственно из графика К (7 ) •
Первый способ представляется наиболее практичным в том случае, когда из общих соображений'вид корреляцион ной функции не вызывает сомнения и нет опасности при ее аппроксимации упустить какие-то существенные подроб
ности спектральной плотности. Однако часто возникают задачи, при которых оценка должна быть найдена с боль шой точностью. К таким задачам относятся, например, задачи прогнозирования ординаты случайной функции на некоторый срок вперед, задачи интерполяции и т .п . При этом следует обратиться к оценке S(co) до ее аппроксима ции или к самой реализации x ( t ) . В первом случае воз никает принципиальная трудность, связанная с тем, что
К (7) известна на ограниченном участке изменения ее
аргумента, причем точность оценки уменьшается с при ближением к границам интервала. Поэтому при вычислении
$(со) по формуле |
|
|
п |
е |
- fw r] _ |
S (со)' |
К ('Z)ol'ö |
2 Я .
возможны большие ошибки, так как неучет ординат K(Z)
при \т \> Т может существенно исказить ординатыS(co)
при малых со . Столь же неэффективным оказывается и
непосредственное применение преобразования Фурье к реализации x(t) для получения оценки S(cu) . в качестве оценки S(co) здесь принимается выражение
|
т |
7(со) = |
е |
|
23ГТ |
2
я? (і ) с і і |
О».26) |
Проверка этого соотношения на несмещенность и со стоятельность показывает, что
15 |
225 |
и
rfz-*i£[ü(co)] = S 2(cv) ,
Г-— 00 .
Следовательно, V(со) не является состоятельна* оцен
кой спектральной плотности, так как точность ее опре деления не повышается с увеличением интервала записи
Т . Несостоятельность оценки связана |
с |
тем, |
что |
число |
|
оценивавшее ординат S(co) |
бесконечно и |
поэтому |
дисперсия |
||
оценки каадой ординаты не |
уменьшается |
с |
ростом |
Т |
.По |
ложение изменится, если вместо оценки дисперсии ординат спектральной плотности, мы будем искать оценку интегра ла от этой спектральной плотности, взятого в пределах
от и), До со2 , или (что то |
же самое) |
разность спектраль |
ных функций S(co2)~ S(co,) |
. В этом |
случае |
(AS |
|
|
S(co2) - S ( uj |
e tu>tx ( t ) d t \ |
|
2'Ж |
|
|
и ).
будет асимптотически несмещенной и состоятельной.Однако если мы будем использое.г о.гученные усредненные по со оценки для харак1< гкстн^и . $(сО) , то неизбежно
получим систематическую ошибку. Для преодоления возни кающей таким образом трудности применяются различные способы, основанные на рациональном усреднении ординат спектральной плотности.
Например может быть рекомендован и такой способ. Разобьем интервал G J на п интервалов длиной Jc . Тогда
226
п
|
i s r |
1 |
iuL>t |
|
s ( u J h - Y l ( c v ) ^ Y |
|
e x(t)olt |
. |
|
п <г* } |
П ішё |
|
||
Н <Г |
n L é i f i L |
|
|
|
é- |
f |
|
|
|
4 4>To
Находя математическое ожидание обеих частей равенст ва, получим
€ im М [S fa )]=€ іт М [Sj (и: )J = S(co)
T —- «»о
О
£ im 2?[S( UJ>)J ~ -6im S |
(c^)J = 0 . |
n —-OJ |
|
T — — e c |
|
'o |
|
Несмещенную и состоятельную |
оценку S(co) можно по |
лучить и с помощью преобразования K(Z) по Фурье,вводя под знак интеграла соответствующую весовую функцию h(Z)-
S(u>) = 2JT ft(z)K(r)e |
d z . |
-т |
|
Заменим в этом интеграле іг(Т) |
ее преобразованием |
по Фурье: |
|
&(Т)= е ' us(co,)d<j0 ,
и
- о о
и подставим вместо K(Z) его значение:
I
К ( Т ) = x(t)x(t+T)olt .
227
Выполнив необходимые преобразования, окончательно получим
Для применения этой формулы достаточно выбрать весо
вую функцию |
или ее преобразование |
по Фурье и/(сѵ). |
|
В зависимости от того, |
какая выбрана |
получаются |
|
различные виды оценок. |
Например, если |
|
|
|
. О |
\т \ > Т0 |
|
то мы получаем так называемую "усеченную оценку". Независимо от вида h(Z) вычисление по (4.27) ыохно
реализовать путем построения соответствующего фильтра, на вход которого подается случайная функция * 4 1 ) •
§ 28. Выделение периодической составлявшей из состава случайной Функции
Часто в составе гидрометеоэлементов, представляемых случайными функциями, содерхится и периодическая (регу лярная) составляющая. Однако только по виду реализации обычно невозможно сделать вывод о наличии или отсутст вии периодической компоненты. Тем более невозможно не посредственно по реализации получить какие-либо число вые характеристики периодической составлялядей. Рассмот-
228