дельное время |
старения |
для температуры воды в точке |
2-5 мин, а для |
скорости |
течения - |
2-3 ч. При увеличе |
нии промежутка |
времени |
сверх Тпр |
точность гидрометео |
элемента будет ухудшаться и при больших промежутках времени ошибка будет равна І.4ІС ? .
Это соотношение вытекает из известной формулы для структурной функции,
£ J t )= 2 [ kJ 0 ) - K x (T)]
при
? > >ТпР )
DX (T) - 2 Кх (0)
і М & х *
/
Очевидно, что в этом случае выгоднее пользоваться средним значением гидрометеоэлемента вместо измеренно
6 некоторых случаях бывает необходимо по измеренным дискретным значениям гидрометеоэлемента восстановить его непрерывный график. Наиболее простым способом яв ляется соединение согласной кривой, точек, соответствую щих измеренным значениям (рис.28). Очевидно, что такую согласную кривую надо проводить так, чтобы ее участок, соответствующий промеіутку ( t - f t ^ + T ), располагался
в полосе
х (* і)* < * >
Oc(tt+ T) é оС .
OC(t)
Отсюда возникает правило проведения согласной кривой
на участке |
от x (t± ) |
x ( t { + T) |
. Надо провести парал |
лельно оси |
^ прямые ж( tI ) ± cL |
и x ( t - +T)±oL . |
Согласная кривая должна целиком располагаться на обцей для обеих полос площади. Ясно, что, не задаваясь никаким точным законом построения кривой, мы не можем характе ризовать ее точность иначе, чем ошибкой, одинаковой
ддя любой точки участка от t- |
до t- + T • На основании |
% |
t |
приведенного правила построения ыохно написать формул предельного отклонения восстановленной кривой от истшгной:
Другим методом восстановления кривой является зада ние определенного закона нахождения промежуточных зна чений. Наиболее простым решение оказывается в том слу чае, когда промеуточные значения связаны с измеренны ми значениями некоторой линейной зависимостью.
§30. Интерполяция и экстраполяция значений
гилрометеоэлементов. представляемых случайными Функциями
При интерполяции и экстраполяции гидрометеоэлемен тов, представляемых случайными функциями, возникает задача предсказания указанных значений в точках, гд* измерений не было. Б качестве исходных данных нрм »тем используются известные величины, получении* в сеседиж точках. Так как, по условию, исследуемый процесс яв ляется случайным, то и сами методы прогноза и оценка их качества тоже должны носить вероятностный характер. Очевидно, что при прогнозировании желательно получать наилучшее приближение предсказанных значений гидрометеоэлементов к их действительным величинам. Условием наилучшего приближения, как и обычно, мы будем считать
такие, которые соответствуют минимуму средней квадрати ческой ошибки:
|
|
гъ |
і г |
(4.40) |
|
\ X ( 0 - £ a r i x ( t - T j ) = m i n |
|
|
|
|
г=/ |
|
|
где x (t) |
- |
заданная |
случайная функция; |
|
а- |
- |
неслучайные коэффициенты; |
|
(сі |
- моменты, |
соответствующие измеренным значе |
|
|
ниям. |
|
|
Для случая экстраполяции аналогичное условие будет
иметь вид |
|
|
|
|
|
x ( t + T ) - £ é Oii x ( t - Z i ) \ = m i n |
• |
Коэффициенты |
а^*»/ |
J |
|
Здесь “Г |
- |
срок |
прогноза. |
|
|
|
|
|
находятся обнчимм нутом на овном- |
нии (4.41), |
что |
дает |
систему |
из п уравнений: |
|
Т ^ а ; кх (тг- г , ) л КА тг ) . |
гА.ь-2) |
ѵI
Подставив формулу (4.42) б предыдущую, получим соот ношение, удобное для расчета стандарта ошибки интерпо ляции:
в 2-К . |
U, Ч А , ! |
• и 4 . - |
|
|
Этот метод обеспечивает в общем случае тем большую точность, чем большее число данных используется для расчета. Однако опыт показывает, что при большом fl точность растет медленно, но зато вычислительные труд ности - быстро. Поэтому на практике чаете можно ограни
читься простейшим сл у ч а ем интерполяции по двум соседним |
зн а ч ен и я м . Если |
и н тер в ал дискретности равен J |
, то для |
интерполяции по |
двум соседним точкам получим |
(рис.2 9 ) |
x'(t)=ax’(t- Z )i' ёх ( t тТ~Т) |
(4.44) |
*(.t)
|
t- T |
I |
I |
|
|
t |
|
|
Рис.29 |
l +T-T |
Подставив |
(4.44) в |
(4.40), |
выполним необходимые пре |
образования |
и в результате получим два уравнения: |
- к х ( г )+ а к х ( 0 ) * ё к х (т) = 0 \ |
-КХ(Т- 7) + ёКх (0)+аКх (Т) =0
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
Кх {0)Кх (^ ) - К х ^ ) К х {Т-Т;) |
_ |
|
|
|
Кх (0)~ Кгх {Т) |
|
|
|
€ = |
к*(°]Кх (Т-с)-Кх (Т)Кх(Т) |
< |
|
|
К%(0)-Кх (Т) |
|
|
|
Подставив |
значения <х |
и ё |
в |
(4 .43), |
получим рас |
четную формулу для вычисления ошибки интерполяции* |
|
Кх ( о \ к І ( Т - 7 Ь К І ^ - 2 К х (т)Кх (Т)Кх {Т-г^ |
б \г )^ К х {0)- |
|
К хг І 0 ) - К Х2 (Т) |
|
|
|
|
|
|
Из формулы следует, что |
ошибка интерполяции зависит |
от |
промежутка |
? . |
Очевидно, |
чтосУ ^; достигает m a x |
на |
середине отрезка |
от t-L |
доt ^ T |
, т .е . |
при Т= — • |
В этой случае а = € |
и |
т) |
|
к: |
|
г 7 |
|
G m aurK* (О)-2 |
|
|
|
*х<Р)+к*(Т ) |
Кроме изложенного метода интерполяции,когда интер |
поляционные множители |
о и |
£ ‘ |
является функциями от |
промежутка интерполирования |
Т , |
можно использовать |
и так называемую прямолинейную интерполяцию,т.е. такую, при которой промежуточные значения ‘ос (t) получаются просто в результате соединения измеленных значений при мой линией, кстати сказать, такой мётод чаще всего и применяется на практике.
Интерполяционная формула (рис.30) будет иметь сле дующий вид:
х(і+т) (4.45)
а средняя квадратическая ошибка интерполяции опреде лится по формуле
с5 = !*•(?*■?)
|
т-г |
|
Кх (0 ) - 2 т K J T ) - |
- 2 j K x ( .T - 1 )* Z |
КХ ( Т ) . |
Так же как и в предндущем случае,ошибка интерполя |
ции достигнет m a x на |
середине промежутка при 77 -7 . |
Тогда |
£ |
ѵ к * ( . 0 ) - г к х (■ £ )+ 0,SK X { T ) .
