Определим выигрыш в точности, даваемый первым мето дом по сравнению со вторым, для чего образуем разность максимальных дисперсий}
< ( і )
Л=0,5КX(0)+0,5Кх {Т)і'2 К .Ѵ Ъ К Х (Т)
Отсюда следует, что для того чтобы л > О , необходимо выполнение неравенства
к2(Ц
> 2 К „
Очевидно, что это неравенство выполняется всегда. Саму величину выигрыша можно вычислить, взяв отношение дисперсий. По измеренным значениям ординат случайной функции можно не только восстановить величины ординат в промежуточных точках, нс и предсказать значение дру гой случайной функции, если мезду ниш существует кор реляционная зависимость. Эта задача также может быть решена методами корреляционного анализа.
Рассмотрим сущность метода применительно к случаю четырех переменных. Возьмем четыре случайные функции
u (t) i x ( t ) |
f |
у (t) |
i.?({)■• БУДем *скать зависимость |
первой из них от трех |
других |
в виде некоторого |
линейно |
го выражения |
|
|
|
|
|
|
u ‘( t ) ^ a /x ( t - T ) ^ a 2y ( t - ^ ) t a 3 2 (^ - £ ) . |
О*.46) |
Здесь <с |
, |
, |
£ |
- постоянные сдвиги во времени; |
|
|
сх |
|
— постоянные коэффиціенты. |
|
|
'7 ^7$ |
будет |
отличаться от и (і) . Это |
В общем случае u \ t ) |
отличие можно характеризовать |
величиной дневереми |
* гкх>( ? - т ^ - 2 ) к ах т к иг( ? >
-2Xx iq - 7 ) X ^ -2 ) A „ JT ) A ^ ( T ) - -гк„(о)кгг^-2)/(иі1ф н и1ц ) -
- г к 0 т „ ^ - ^ г т к ^ ( p -
- V V ^ W“ WV ^ -
- K x t f - r t K t / p - K p & w L M i
M - x x j o ) K № m „ ( o ) ' Z K X f ( z - w „ q - r t x y ( $ - ? ) -
Самой простой характеристикой случайной функции яв ляется ее математическое ожидание. Если приближенно при нимать значение функции при любом t равным ее матема тическому ожиданию
|
|
« ( t ) * * u ( t ) |
, |
(4.51) |
то ст ан дар т |
ошибки |
такого приближения будет |
равен |
j f c j O ) . |
Тогда |
величина |
|
|
|
|
6 |
IGO/о |
|
|
л = [і- |
|
ѴКаіО)
будет характеризовать |
выигрыш в |
точности, получаемо* |
при расчете |
u \ t ) по |
(4.46), по |
сравнению с использова |
нием условия |
(4 .51), |
|
|
Рассмотрении* подход может быть применен к любому ко личеству переменных. Однако увеличение числа аргументов существенно повышает вычислительные трудности, и ручной счет становится очень сложным. При использовании ЭВМ это затруднение не имеет серьезного значения.
Рассмотрим в качестве примера зависимость составляю щей вектора течения на меридиан на горизонте 150 м станции I I от аналогичной проекции, измеренной на стан ции ft 3, и обеих проекций на станции ft 2 на глубине
25 м. Расположение станций показано на рис.31.
В данном случае уравнение (4.46) будет иметь вид
* w W ma,* 3 * tt-7 )+az*2nU -?) + a3X2 1 iV - ^ ’
Z = 8 z 2 ~ З і ? j -
Коэффициенты корреляции, енятые с графиков взаимных корреляционных Функций, составляют:
^ , „ , г „ ^ - - 0 , 3 2 , KW i, , i m - ' 0 , 2 S ;
Небольшая величина модулей коэффициентов корреляции не позволяет надеяться на высокую точность вычисления
x \ t ) • Действительно, |
подсчет показывает |
величину |
выигрыша в точности лишь на 1256. Расчет г*- |
и подстанов |
ка результатов в (4.46) |
дает |
|
xXt)‘ -0}3 M xn ft - 8 ) - 0 ,H 4 x 2ll(t-31)+ 0,166x2i9( t - 1 9 ) .
Возьмем теперь проекцию на параллель на горизонте 150 м ст. ¥ I и исследуем ее зависимость в аналогичной
проекции на ст. ff 3 и обеих |
проекций иа ст. |
ff 2 на глу |
бине 25 м. Здесь |
|
|
ft |
( Z ) - 1-0,51', |
0 ,5 0 i |
|
13 2 ,3 3 2 |
|
7/ |
(? --о,2в\ йж„ |
?)• o,fO; |
- o fo ; |
3 3 2 ,2 1 t |
^’ = 'Г ; <?=24? .
Теперь
ос'32( і ) - ° , 744xJ3Z( t -14)-07246x^(t-5)TO ;3l8x2i2(t-24)
|
4 = 3 |
$ % . |
Исходные |
данные для |
решения этих примеров получены |
в результате |
обработки |
измерений течения, выполненных |
на полигоне в Тихом океане в 1962 г . Рассмотренные при меры показывают, что при наличии существенной корреляцион ной связи между случайными функциями изложенный метод может давать хооошие результаты.
Обратимся теперь к более подробному изложению мето дов экстраполяции случайных функций. По смыслу эта за дача практически не отличается от задачи интерполяции. Однако вычислительные методы здесь будут иметь сущест венные особенности. Дело в том, что при интерполяции мы имеем по крайней мере два опорных значения случайной функции и ищем промежуточное значение гидрометеоэлемен та . При экстраполяции в нашем распоряжении находится
только предыстория поведения исследуемой характеристики, и поэтому точность экстраполяции при одном и том же промежутке времени будет всегда хуже точности интерпо ляции. Для того чтобы в максимально возможной степени повысить точность прогноза, при экстраполяции желатель
но использовать |
всю информацию о случайном процессе, |
т .е . иметь |
реализацию бесконечной длины. Схема решения |
задачи при |
этом |
получается следующая. |
По известной |
спектральной плотности случайной функции |
отыскивается так называемая спектральная характеристика
|
|
|
|
|
|
|
экстраполирования |
Фт(и>) , которая должна удовлетво |
рять |
следующим условиям* |
|
|
|
а ) |
должна быть аналитической функцией в ниж |
ней полуплоскости |
И |
при \сО I—-®<» |
в этой |
полуплоскос |
ти расти не быстрее, |
чем некоторая |
степень \и>\ |
} |
б) |
функция ^ ( с о ) = \ е 1а}С- Ф т(^ )] б ( и ) ) |
, |
должна |
быть аналитической в верхней полуплоскости и при
I со I— ®*=’
