Файл: Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие.pdf

Скачать файл (6,04Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 92

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где D	- истинное значение дисперсии.
Из этой дроби может быть найдено выражение для оценки
дисперсии:
		п - і	(1.75)

Зная закон распределения величины «/• , мы можем по
строить доверительный интервал и для дисперсии.			Так как
закон	распределения	несимметричен, условимся	вы
бирать	доверительный интервал так, чтобы вероятность
невыхода величины с/-		за пределы этого интервала	по обе
стороны его была одинакова (рис.13).

f ( V )

			Рис.13
Обозначим эти		вероятности		через Pf = cL		и 4 -	/-О І
					~2		2
где ot-	- некоторая		вероятность. Для удобства ремения
задачи	обозначим значения аргумента,				соответствующие
этим вероятностям,			2	2	» Доверительный
			через	и
интервал - через
По интервалу			можно найти искомый доверительный

интервал *Jjb . Этот интервал накрывает истинное значе ние дисперсии с вероятностью. ^

	P(J><D<D2 ) = ß ■		(1 .7 6 )
Таким образом, неравенства
М п - і) < „
V,	д	“	(1.77)
Ъ % Р - > ѵ		.
равносильны, а	доверительный интервал

Таблица - распределения составлена так, что в каждой строке даются два значения, соответствуйте границам интервала. Входами в эту таблицу являются число степеней свободы и заданная вероятность. При больших /2 (7 ? ;> 4 о ) распределение становится практически симметричным и поэтому оба множителя одинаковы.

Задаваясь вероятностью 0,68, вычислим погрешность в величине стандарта в процентах для различных п,

(табл .1 .2).

						Таблица 1.2
п	3	5	ТО	20	30	40	50

%*	0,72	0,38	0,25	0,16	0,13	0,11	0,10

4 2

§ 5. Резко выделяющиеся наблюдения

Из закона нормального распределения следует, что ве


роятность		появления		ошибок измерения, больших 3 3 »равна
0,003.	Вероятность того,				что	из п		результатов измере
ний не	будет		ни одного,		имеющего погрешность больше 3 3 ѵ
	Р ~ ( і - 0 90 0 3 ? * * і- 0 9 0						0 3 п .		(1*79)
Т .е. вероятность того, что одно из 10 измерений
будет иметь погрешность > 3 3						,	составляет		0,03, одно
из ТОО измерений - ~				0,3 .
Для того			чтобы решить вопрос				о	закономерности по
явления	в	ряду наблюдений отсчетов,						резко	отличающихся

по величине от соседних, необходимо составить безраз

мерную дробь		вида
		**■'т ах ~	(1.80)
		£/ =
где	Xm a x	<*х
		- максимальная или минимальная величина
		в данном ряду наблюдений;
	/77. •7 е х	- параметры распределения, вычисленные
		с учетом "подозрительного"	результата.

Считая, что данные измерений распределяются по нор мальному закону, можно получить закон распределения дроби V- . Это распределение будет зависеть от объема выборки п . По объему выборки п и заданной вероят ности Р можно найти такое число <£ , при котором будет соблюдаться неравенство

= Р .

(I .8 I)

Таким образом, для решения задачи необходимо: вычис

лить V- I по	заданной вероятности,	пользуясь таблицей
распределения	, найти величину	, а затем сравнить

табличное и полученное значение.

Пример. В результате измерений получены следущие

отсчеты:
3,68	3,11	4,76	2,76	4,15
5,08	2,95	6,35	3,78	4,49
2,81	4,65	3,27	4,08	4,51
4,43	3,43	3,26	2,48	4,84

т „ ш 3,943f			<3L.= 0,943;	сл =	Ь 35г5г. Ш — = 2,552
А			*		0,943
Зададимся вероятностью 5#. Из таблицы распределения
V найдем по			Р = 5# и п	= 20	^	= 2,623.
Значение		нашей дроби меньше			,	и поэтому		отсчет
6,35 следует оставить, так как с					вероятностью			95# он
не нарушает закона распределения.
§ 6	.	Отличие реальных		распределений			ошибок
			нормального			закона	рас
		измерений отпределения

При чалом числе измерений законы распределения оши бок отличаются от нормального. Для оценки точности

среднего арифметического, полученного по малому числу измерений, можно применить закон распределения Стьюдента. Это распределение (Т - распределение^выведено для дроби

г=	Х 9	(1.82)

где X - центрированная случайная величина, распре деленная нормально с параметрами 0 |І ;

А- число степеней свободы ( к = п - і ) •

Ценным качеством распределения Стьюдента является то, что сюда не входит дисперсия. Эту дробь иногда за писывают в виде

				(I.8S )
Плотность распределения		Стьюдента	(Т	распределения)
				(1.84)
Математическое	ожидание	Т = 0 (/*пг =		0 ).
При увеличении	А - распределение		Стьюдента стре

мится к нормальному (рис.14).

Рис. 14

4 5

Как показала практика обработки данных измерений, экспериментальные кривые распределения обычно седержат заметные систематические погрешности. Кроме того, в реальных условиях проявляется несколько иная связь между величиной средней квадратической ошибки и пре дельной ошибкой, чем это следует из нормального закона распределения.

Указанные особенности могут быть объяснены наличием в реальных распределениях асимметрии и эксцесса. Так, например, эксцесс погрешности определения поправки ин

декса	секстана - Оі Г8 ;
- ошибки измерения горизонтального направления -
О’, 27;
-	ошибки измерения высоты Солнца секстаном - 0^26;
-	ошибки в измерении наклонения		горизонта -	0', 64
(для	закона	равномерной плотности	эксцесс равен	- 1 ,2 ).
Для тоге		чтобы учесть влияние	асимметрии, рассмот