Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

в нуль на множестве ненулевой меры Лебега, опорная плоскость, соответствующая h (•), не единственна.

Теорема отделимости

Следующий результат является основной теоремой отделимости для выпуклых множеств в конечномерном пространстве.

Т е о р е м а 2.2. Пусть А и В — выпуклые множества в конечномерном (вещественном гильбертовом) простран­ стве. Если выполняется одно из условий:

(i)А П В пусто,

(ii)внутренность множества А непуста и не пересе­ кается с В, то А и В можно отделить (друг от друга) некоторой гиперплоскостью. Другими словами, найдется такой ненулевой вектор ѵ, что

отделяющая гиперплоскость определяется тогда уравне­ нием

[о, х] = с.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим через А — В мно­ жество

{х — у: X ^ А, у ^ В}.

Очевидно, что оно выпукло. Далее, нуль (начало коор­ динат) не является внутренней точкой для А — В. Это нужно доказать только для случая (іі). Поэтому будем считать, что условие (іі) выполнено. Пусть начало коор­ динат принадлежит внутренности множества А — В. Тогда очевидно, что объединение

ІИ ^ - я )

о

70 Глава 2

Но калсдая точка на прямолинейном отрезке, соеди­ няющем х0 и и (кроме, быть может, точки и), является внутренней для А, в чем легко убедиться непосред­ ственно. С другой стороны, прямолинейный отрезок, соединяющий у и ѵ, принадлежит множеству В в силу выпуклости последнего. Таким образом, В пересекается с внутренностью мнолсества А, что противоречит усло­ вию (іі).

Итак, нуль не принадлелшт внутренности мнолсества А — В. Предпололсим сначала, что нуль принадлел<ит внутренности его дополнения. Тогда, согласно те'ореме 1.1, нуль молено спроектировать на замыкание

что и требовалось доказать.

Далее, если нуль не принадлелеит внутренности дополнения мнолеества А — В, то он доллсен быть гра­ ничной точкой мнолсества А — В и, значит, найдется сходящаяся к нулю последовательность точек хп, не принадлелеащих замыканию мнолсества А — В. Обозна­ чим проекции точек хп на замыкание множества А — В через z„; тогда

Очевидно, можно полол<ить

Таким образом, мы показали, что для любой задан­ ной точки zn из сходящейся к нулю последовательности граничных точек существует опорная плоскость, прохо­ дящая через эту точку. Сходимость к нулю следует из того, что

II 0 — Zn ІКІІ 0 — Хп II + II Хп — ІКІІ о — Хп II + II О — Хп ||—>0.

Все приведенные выше соображения никак не исполь­ зовали конечномерность основного пространства, и, зна­ чит, они справедливы в бесконечномерном случае. Сле­ дующий шаг доказательства потребует использования конечномерной конструкции (а на самом деле, как выяснится в дальнейшем, в бесконечномерном случае он просто неверен). Итак, по теореме Больцано — Вейерштрасса ограниченное множество точек еп должно иметь

Это неравенство характеризует опорную плоскость, про­ ходящую через граничную точку нуль. Из условия (2.4) находим

Теорема доказана.

Неявный бесконечномерный результат, о котором упоминалось выше, можно сформулировать в виде следствия.

С л е д с т в и е 2.1. В любом гильбертовом простран­ стве множество опорных точек выпуклого множества плотно в множестве граничных точек.

П р и м е р 2.8. Приведем пример, показывающий, что этот результат нельзя улучшить. А именно мы построим такое выпуклое множество, что для некоторых его граничных точек не существует опорных плоскостей, проходящих через них (Кли, см. [2]). В качестве Н возьмем пространство квадратично суммируемых после­ довательностей вещественных чисел. Рассмотрим в нем положительный конус, т. е. множество С таких после­ довательностей, все члены которых неотрицательны.

Мы утверждаем теперь, что для последовательности из С, каждый член которой строго больше нуля, не существует проходящей через нее опорной плоскости.

Согласно неравенству (2.6), последовательность h, оче­ видно, не может содержать положительных членов, так что в силу (2.7) она должна состоять из одних нулей, ибо ни один из членов последовательности z не равен нулю. Заметим, что для каждой последовательности из С, имеющей хотя бы один нулевой член, проходящая