Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 97
Скачиваний: 0
58 Глава 2
Полагая
_ _ , |
mH |
Х— Уо-t |
| А|| , |
накодим
f s ( h) = [h, х].
Опорная точка д: единственна, поскольку неравенство
[h, у — уо] < т II h II
превращается в равенство только тогда, когда у — у0 отличается от h лишь скалярным множителем.
П р и м е р 2.2. Рассмотрим теперь пример конечно мерного множества, в котором опорная точка (и опорная плоскость) не единственна. Обозначим через {yk}, k = i , 2, ..., п, конечное множество элементов из Н, а через С их выпуклую оболочку (которая автоматически зам кнута). Тогда при некотором у/
fa (h) — \h, yj\
и, естественно,
[h, У\] — [Ь, у2],
если h — нормаль к У\—Уі- Ясно также, что через каждую „вершину" yj можно провести более одной опорной плоскости.
Приведем еще пример неединственности опорной
точки бесконечномерного множества. |
|
||
П р и м е р 2.3. |
В качестве |
Н возьмем |
пространство |
L2(a, b)q, где интервал (а, Ь) |
конечен, и пусть |
||
C — |
II f it) II |
1 п о ч т и |
в с ю д у ) . |
Тогда для любой |
функции h( - ) из этого |
пространства |
|
|
ь |
|
|
[h, f ] =\ [ h{ t ) , f { t ) ] dt
а
и для
\[h{t), f{t)} К II h (t) II почти всюду.
Неравенство Шварца превращается в равенство только тогда, когда f(t) отличается от h(t) лишь скалярным
Выпуклые множества в гильбертовых пространствах |
59 |
множителем. Отсюда сразу получаем
[h, f] < j[ h { t) , |
f(-)<=C, |
а
так что
b
f s W = { [h(t), x{t)\ dt,
где
x(t)- |
h { t ) |
, |
если |
h (t) Ф 0, |
IIА(0 ! |
||||
а при h(t) = 0 в |
качестве |
x(t) |
можно взять любую |
|
измеримую по Лебегу функцию с нормой не более 1.
П р и м е р 2.4. |
Пусть, как и раньше, пространством |
Н будет L2(a, b)q, |
но теперь |
£ = { / ( • ) : / ш О И Л < і } .
Известно, что это множество не ограничено. Обозначим через h( - ) произвольный элемент пространства. Тогда последовательность функций
|
<+д |
|
сходится к |
функции [h{t), о] почти |
всюду по t. Беря |
в качестве |
ѵ произвольный элемент |
единичной нормы, |
мы видим, |
что функция |
|
/< s < / + А,
востальных случаях
принадлежит С, а значит, |
|
., |
ess sup II/г (t) |
(â).j |
|
Если h.( •) — простая функциЯі |
.то- в С найдется |
|
такой элемент х, что |
,\- |
...., . . |
fs W = [h, х\ = ess sup j| h (/) ||.
60 |
Глава 2 |
В самом деле, таким элементом х будет, например,
/ч |
= |
Г(А(0/П а (/) II) (1/m(Q)) |
на Q, |
jc(0 |
1 л |
в остальных случаях, |
|
|
|
I 0 |
где
Q = {^e(a, b): || h (t) ||== ess sup || h (t) ||}.
Пусть теперь функция h (•) такова, что ess sup II h (t) И< oo.
Тогда существует последовательность простых функций £„(•), сходящаяся сильно к Іі. В силу слабой полу непрерывности снизу функции fs(-)
/,(А )< lim ess sup||g«(f) ||
и, следовательно,
fs (А) < ess sup II h (0 II,
что вместе с уже доказанным выше обратным нера венством показывает, что
|
|
fs (Л) = |
ess sup II h it) ||. |
|
|
Это равенство всегда |
верно в том смысле, что если |
||||
его правая часть бесконечна, то бесконечна |
и левая. |
||||
Отметим, в частности, |
что наш опорный функционал |
||||
не непрерывен. |
|
|
|
|
|
П р и м е р 2.5. |
Пусть |
х0 — произвольная точка из Н, |
|||
а М — замкнутое |
подпространство в Я. |
Тогда |
опорный |
||
функционал выпуклого |
множества |
|
|
||
|
|
С = Xq“|- Af |
|
|
|
задается |
равенствами |
|
|
|
|
|
МА) = |
[А, *о], |
если h _L М, |
|
|
|
оо |
в противном |
случае. |
|
|
|
|
|
|||
В этом |
несложно убедиться, поскольку для |
любого |
|||
у = Xq+ |
2, где г е М , |
|
|
|
|
[A, y\= [h, Xo]-\-[Ph, г],
Выпуклые мноокества в гильбертовых пространствах |
61 |
где Р — оператор |
проектирования на М. Заметим, |
в частности, что |
|
inf ||*ь — 2 11= SUP (—1 |
|
z e M |
IIA IK I |
Функционал Минковского
Известно (к тому же мы убедимся в этом несколько позже), что в конечномерном случае всегда можно найти опорную плоскость, проходящую через произ вольную граничную точку выпуклого множества. Но в пространстве бесконечной размерности это уже не верно. Здесь достаточное условие состоит в том, чтобы выпуклое множество С содержало по крайней мере одну внутреннюю точку, которую с помощью переноса можно сделать началом координат. В этой связи по лезен функционал Минковского. Его можно определить всякий раз, когда начало координат оказывается по глощающей точкой множества С, т. е. когда для любого элемента h из Я и некоторого числа е > 0, зависящего, вообще говоря, от А, элемент th принадлежит С при
0 < г < е .
Функционал Минковского задается равенством
р (Л) = inf {f: / > 0, hit е С}.
Он обладает следующими свойствами:
(і) 0 ^ р (ah) — ар (А) для всех чисел а ^ 0, (ii) р(А)<1 для А е С ,
(iii) Р(А, + h2) < р (А,) + р (А2), А„ А2 е= Я.
Докажем свойство (ііі). Для этого заметим, что для каждого е > 0 элементы hx!(p (h{) -f- е) и А2/(р(А2) -f е) принадлежат С и, значит, их выпуклая линейная ком бинация
и |
t |
h' |
A-1 |
2 р |
h2 |
3 |
|
1 Р(Л,) + 8 |
^ |
(h2) + 8 ’ |
|
где |
|
|
|
|
|
|
t |
P(/Zl) + |
S |
|
|
|
1 |
Р (*i) + |
Р (А*) + |
2е ' |
|
/2 = 1 tx,