Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

(т. е. множество последовательностей, все члены которых неположительны). Тогда рассматриваемую задачу молено сформулировать в следующем виде.

Минимизировать функционал /(х)

при ограничениях

х е С, где множество С (как и раньше) выпукло,

и

Р(х)е/Ѵ , где отображение Р (х) (по предположению) выпукло.

К сожалению, для этой новой задачи теорема Куна — Таккера уже не проходит. Повторяя ее доказательство, определим прежде всего множества

A = {{y>z): y ^ f ( x ) , z —Р(х)<=Р для некоторого х е С},

В = {(У, г): У < Ң х 0), zeA f),

где, как и раньше, х0 — минимизирующая точка. Но теперь, к сожалению, из того, что множества А и В не пересекаются, еще не следует, что их можно отделить. Ведь и у А и у В может не быть внутренних точек. Действительно, известно, что у N внутренних точек нет. Тем не менее возможно по крайней мере одно обобщение теоремы Куна — Таккера, хотя его содержа­ тельная ценность не слишком ясна. Обозначим через Y

можно охарактеризовать так:

Р = { х е Т х>0}.

Этот конус можно назвать положительным, а отрица­ тельным конусом N будет просто множество (— Р):

N = {х е Y: х < 0}.

Пользуясь введенным упорядочением, определяем обыч­ ным образом выпуклое отображение. Если внутренность конуса N не пуста, то можно теперь сформулировать обобщение теоремы Куна — Танкера на случай беско­ нечного числа ограничений [13].

Т е о р е м а 2.5. (Бесконечномерный вариант теоремы Куна — Танкера.) Пусть С — выпуклое множество в гиль­ бертовом пространстве Н, а f (х) — вещественный вы­ пуклый функционал, определенный на С. Обозначим через Y гильбертово пространство, содержащее замкну­

сительно упорядочения, индуцированного конусом Р. Пусть х0— точка минимума функционала f(x) на мно­ жестве С при ограничениях

так же, как и раньше. Прежде всего построим под­ множества А и В в пространстве £ , ХТ:

Заметим, что в гильбертовом пространстве £, X У эти множества отделимы, так как внутренность множества В не пуста и не пересекается с А f| В. Поэтому найдутся такое число а0 и такой элемент оеК , что для любого хеС

а</ (*) + [»> F (*)] > a0f (*о) — [о. Р]

Очевидно, что эффективных точек может быть много. Однако эффективные точки можно охарактеризовать как точки обычного максимума соответствующих число­ вых функций.

Т е о р е м а 2.6. Пусть С — выпуклое множество в Y, а х0— эффективная точка для G(x). Тогда в Р* найдется такой элемент о0, что при ограничении Н (х) ^ О

шах К , G ( x )] = [ü0, G(x0)].

хе С

До к а з а т е л ь с т в о . Обозначим через К замкнутое выпуклое множество

{G (х) — G (х0): X е С, F (х) ^ 0}.

Ясно, что К не может пересекаться с внутренностью конуса Р, и, следовательно, его можно отделить от Р. Поэтому найдется такой отличный от нулевого элемент е в Y, что

вещественная функция двух переменных х, у е Н, а А и В — выпуклые множества в Н. Говорят, что игра двух лиц с нулевой суммой и функцией платежа ф(х, у),

(ii) ф((1 — в)*, + Ѳх2, у)>{1 — Ѳ)ф(х„ у) + Ѳф(х2, у)

(iii) функция ф(х, у) непрерывна по х при любом у из В. Тогда соотношение (2.12) выполняется (т. е. игра