Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Скачать файл (6,37Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 88

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

26 Глава J

где Q — некоторое множество, <М— борелевская алгебра р — вероятностная мера. Обозначим через Я замкнутое

подпространство, натянутое на x(t), a ^ t ^ . b .	Очевидно,
m
что множество элементов вида ^ j a kx{tk),	a ^ t k ^.b,

плотно в Я. Но более полная характеристика простран ства Я зависит от дополнительной информации о про цессе, и в частности от характера функции

R(t, s) = h{x{t)x{s)).

Обычная задача состоит в том, чтобы для заданного элемента z из L2(Q, р) найти его „наилучшее линей ное“ приближение с помощью x{t), a ^ t ^ . b , т. е. найти коэффициенты ak, минимизирующие функционал

°°ІІ

Iz — 2 okx(tk) , a ^ tk ^ L b , причем лишь конечное число

коэффициентов должно быть отлично от нуля.

Легко видеть, что искомая линейная комбинация есть проекция элемента z на Я. Если эту проекцию обозначить через è, то при всех t должно выполняться условие

E([z — z,	х{і)]) = 0.
Если на квадрате a ^ s J ^	L b функция R{t, s) непре

рывна, то это условие (в силу неравенства (1.5)) также и достаточно для того, чтобы элемент è был проекцией на Я элемента г. (Полученное уравнение известно как уравнение Винера — Хопфа. Подробнее об этом можно прочитать в работе [11].) Более того, поскольку из непрерывности функции R(t, s) следует непрерывность в Я функции x(t), отображающей [а, Ь] в Я, можно доказать, что всегда удастся найти такую последова тельность матричных функций Wn(t), что интегралы

ь	ъ
J' Wn(t)x{t)dt,	J II Wn{t) \\2dt< oo
а	а

будут сходиться к оптимальной оценке z в среднеква дратическом, т. е. относительно нормы пространства L2{Q, р). Более того, как показано в [11], это доказа тельство может быть конструктивным.

Основные свойства гильбертовых пространств

Представление непрерывных линейных функционалов

О п р е д е л е н и е 1.17. Непрерывным линейным функ ционалом на Н называется функция, определенная на Я, принимающая значения из комплексного поля скаляров

и являющаяся непрерывным линейным отображением пространства Я.

Например, для любого фиксированного h из Я по ложим

L (х) = [х, h],	х е Я;
тогда L( ■) будет линейным функционалом, непрерывным
в силу неравенства Шварца:
\|L ( x ) - L ( y ) \|< \|\|/* \|\|\|U - //\|\|.		(1Л4)

Линейный функционал непрерывен, если он непрерывен в начале координат. Необходимое и достаточное условие непрерывности линейного функционала состоит в суще

ствовании	такого	числа М < оо, что
		Щ *) К	ЛГЦ *\|\|	(1.15)
для всех	* из Я.	Ясно, что	из (1.15) вытекает	(1.14),

а следовательно, и непрерывность. Докажем теперь

обратное. Пусть функционал L (•)	непрерывен.	Тогда
число
8" 1,1т т г ” 1Ж , І і м і =	І*“р ,іі м і	о .ів )

должно быть конечным. Действительно, если (хп} — такая последовательность, что отношение

1L (*п)\

II х п II

безгранично растет, то последовательность {уп}, где

	Уп=	\ L (хп) I ’
должна	сходиться к нулю,	в то время как
	I L (уп) I = 1
к нулю	не сходится. Это противоречит допущению

о непрерывности функционала L(-). Норма непрерыв ного линейного функционала L (■) обозначается через || L ||

Глава 1

и по определению равна (1.16). Задавая так норму функционала, мы превращаем класс непрерывных ли нейных функционалов в нормированное линейное про странство, называемое сопряженным пространством.

З а д а ч а 1.7. Покажите, что каждый ненулевой не прерывный линейный функционал ровно один раз до стигает своего абсолютного максимума на единичной сфере. (Другими словами, единичный шар строго вы пуклый. Но об этом в гл. 2.)

Теорема Рисса о представлении

Заметим, что для любого непрерывного линейного функционала L (•) его нуль-пространство {*: L (х) = 0} (обозначаемое иногда через L{ ■)і ) является замкнутым линейным подпространством. Если рассматриваемый функционал не равен тождественно нулю, то всегда

найдется		по крайней	мере один такой элемент у, что
Ь ( у ) ф 0 .		Обозначим	через z проекцию элемента у
на	нуль-пространство		функционала L (■), и пусть q =
=	у — Z.	Тогда элемент q ортогонален к L ( - ) 1,
			L(q) = L(y)
и,	следовательно, L (q) ф 0. Ясно, что для любого х
из	Н элемент

принадлежит нуль-пространству функционала L (•), так что он должен быть ортогонален к q. Поэтому

Iх. <7] = "riff

откуда

L(x) = [x, q],

(1.17)

где

Итак, каждый непрерывный линейный функционал можно представить в виде (1.17). В этом и состоит

Основные свойства гильбертовых пространств

теорема Рисса о представлении. Из равенства (1.17)

следует также, что
Ш1 = Ш .	(1.18)
П р и м е р 1.5. В качестве примера,	представляю

щего определенный интерес в теории дифференциальных уравнений, рассмотрим следующую задачу в простран стве U(a, b), где [а, b] — конечный отрезок вещественной оси. Скалярное произведение в Ь2(а, Ь) задается

формулой

I/. йо= J f (О(fU)dt■

Обозначим через V подпространство в L2(a, b), образованное абсолютно непрерывными функциями,

первые	производные	которых	принадлежат	L2(a,	b)
и для	которых f{a) — f(b) = 0.		Легко видеть,	что	V
плотно в Я.
Зададим скалярное произведение [ , ], в V формулой
	[/. £], =	[/. Йо +	[Г. g'lo-	(1.19)

Тогда V будет полным относительно нормы, индуциро ванной этим скалярным произведением. Действительно, если {f„} — последовательность Коши относительно этой нормы, то, обозначая ее предел в L2(a, Ь) через f0, а предел производных f'n через g0, получаем