Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

ская алгебра, относительно которой все функции ffc(x)= = [х, Фй]> /г == 1, 2, ... , п, измеримы. Тогда $„+,сг.$„

и Jf—наименьшая борелевская алгебра, содержащая .$„ для всех п.

Характеристические функции и свойство счетной аддитивности

До сих пор все, о чем мы говорили, относилось лишь к случаю гауссовых мер. Перейдем теперь к изу­ чению более общего случая. Заметим прежде всего, что характеристическая функция

Ф {у) = I е1 d\i^

я

положительно определена в том смысле, что

Ф (0) = 1

и

N Я

2 2 а<ф(Уг —*//)â/>0

г=і i=i

для любого конечного числа точек yt и произвольных постоянных aL. Предположим, что мера р, счетно-адди­ тивна. Тогда, как известно, для любого наперед задан­ ного числа е > 0 найдется такое замкнутое ограниченное множество К, что ц (К) ^ 1 — е. Далее,

I1— <р(у) К J ( l —cos[x, z/])d(.i< J(1—cos[x,t/]) d u -f e

Отсюда следует, что функция ф(у) непрерывна в сильной топологии пространства Я. В действительности

8*

справедливо и более сильное утверждение. Определим

квадратичную форму

Q(iJ> z )= J [*. у][х, z] dp.

к

Поскольку множество К ограничено, существует такой неотрицательно определенный самосопряженный ядерный оператор S, что

определенного ядерного оператора S. Мы ввели это понятие, чтобы показать, что ф(у) является характери­ стической функцией счетно-аддитивной вероятностной меры, если она положительно определена и непрерывна в S-топологии. Доказательство этого утверждения можно

непрерывна в S-топологии и, следовательно, является характеристической функцией некоторой счетно-адди­ тивной меры.

величиной называется любая функция (обычно при­ нимающая значения в конечномерном евклидовом про­ странстве, хотя это ограничение, вообще говоря, несу­ щественно), определенная на Q и измеримая относи­ тельно борелевской алгебры (сг-алгебры)

Для наших целей нам понадобятся конечно-аддити­ вные меры на алгебрах, так как тогда мы сможем рас­ сматривать гауссовы случайные величины с неядерными корреляционными матрицами. Осуществить такое обоб­ щение можно несколькими способами. Мы будем сле­ довать Данфорду и Шварцу, внося в их подход некото­ рые удобные для нас изменения. Ограничившись лишь „теорией моментов второго порядка“ и линейными пре­ образованиями случайных величин, мы сумеем обойти наиболее запутанные аспекты теории.

Итак, обозначим через Q абстрактное пространство, через SF алгебру (не обязательно сх-алгебру) подмно­ жеств в Q, а через р конечно-аддитивную вероятностную

(i)множество {со: {[/(со), срг]}еВ ), где В — борелевское множество евклидова пространства, принадлежит

(ii)мера, индуцированная таким образом на боре-

левских множествах, счетно-аддитивна для каждого п (т. е. {[/(со), срг]} определяет обычную случайную вели­ чину).

Если дана цилиндрическая (вероятностная) мера на

такой гауссовой мерой р, что ее характеристическая функция имеет вид

зависимые гауссовы случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Однако для всех ш

2 [/ (со), tpfe]2 = II / И II2< ОО.

I

Это утверждение противоречит классической теории вероятностей, согласно которой аналогичная сумма

.квадратов независимых гауссовых случайных величин

.с единичной дисперсией должна бесконечно расти с ве­ роятностью 1. Отметим здесь один принципиальный момент. В классической теории в качестве выборочного

.пространства всегда используют пространство всевоз­ можных последовательностей и на борелевской алгебре его подмножеств определяют некоторую счетно-адди­ тивную меру. У нас же речь идет лишь о конечно-

.аддитивных мерах, и определяются они на алгебрах. В действительности для случая гауссовых случайных величин подпространство квадратично суммируемых последовательностей имеет меру нуль. Поэтому надо обращать особое внимание на то, как устроено вероят­

деления элементарной случайной величины следует, что прообразы борелевских множеств в Еп (п фиксировано) принадлежат ST. Но поскольку борелевские множества в Еп образуют а-алгебру, их прообразы также обра­ зуют с-алгебру. Следовательно, мера р определена и счетно-аддитивна на подалгебре алгебры 3F и, значит, д-алгебры 3$ борелевских подмножеств пространства Н. Поэтому можно немного ослабить определение и на­ зывать /(©) случайной величиной, если для любого конечного набора п элементов срг из Н множество

{[/ (<*>). ф;]} е В}, где В — борелевское множество в Еп, принадлежит Ш, а мера р определена и счетно-адди­ тивна на а-подалгебре алгебры прообразов борелевских множеств.

Пусть / (со), g (со) —две элементарные случайные вели­ чины, а ф[, фя, 'ф!, ... , — элементы из Я. Не­ трудно видеть, что мера р определена и счетно-адди­ тивна на множествах вида

продолжить на наименьшую ст-алгебру, порожденную множествами (5.1), которая является а-подалгеброй алгебры Тогда, в частности, / (со) + g (со) будет слу­ чайной величиной (хотя и не обязательно элементарной). Кроме того, для элементов ср, ф из Я произведение [/(со), cp][g(co), ф] является обычной случайной вели­ чиной.

Обозначим через L произвольный ограниченный линейный оператор, отображающий Я в Я, и пусть т — фиксированный элемент в Я. Если взять Я в каче­ стве выборочного пространства, то / (со) = Loo + т будет также элементарной случайной величиной.

Пусть С — цилиндрическое множество в Я (если не оговорено противное, всегда будет подразумеваться

нн

где %(•) — характеристическая функция меры р.

В частности, если мера р гауссова, р также гаус­ сова и, кроме.того, счетно-аддитивна, если L — оператор Гильберта — Шмидта. Действительно, если характери­ стическая функция меры р равна ехр (— [Яф, ф]/2), то характеристическая функция меры р равна

ехр (— [L/Я/ф, qp]/2 + / [т, ф]).

Если р — лишь конечно-аддитивная (цилиндрическая) вероятностная мера, то для элементарной случайной

определена. В этом случае можно, конечно, ввести внешнюю меру це, но она не будет счетно-аддитивной, и, следовательно, она не подходит под понятие “вероят­ ности“.

Покажите, что для любого е > 0 мера множества

{*: II Pn+kX — РпХ ||> е},

где {Рп} — строго возрастающая последовательность опе­ раторов проектирования, при k->oo стремится к еди­ нице для любого п. (Это означает, что последователь­ ность элементарных случайных величин Pnx = fn(x) схо­ дится для каждого х и, следовательно, сходится почти наверное, хотя и не сходится по мере.)

Моменты

Пусть I — элементарная случайная величина, прини­ мающая значения в некотором гильбертовом простран­ стве Я. Говорят, что I имеет конечный момент первого порядка (первый момент), если

Введем обозначение

Е (І) = пг.