Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

где

V

- скорость потока ^жидкости. (Всюду в настоящей главе по­

ток

считается однородным,

V = c o n s t .}

В результате для силы

/

запишем

J 0

йо ) I Й-, ■•//У

} '

1.13)

м -

tfy //(*??

г im

где

присоединенная масса

единицы длины нити.

Выражение (ШЛЗ) для силы, обусловленной инерцией присоединен­

ной массы жидкости, представляет собой определенное обобщение фор­

мулы, рассмотренной в работах /8 0 , 8 1 ,

180, 184,

18§7. Силу /~п при­

сительной

скорости

H r

/ = _ //& £ ? * ? .

(ill.14)

Jn

2

i s

d t / i s J J i s /\ i t J i s j

где Kn -

коэффициент сопротивления формы нити, i - ее диаметр,

ботаны еще

недостаточно /43] . Поэтому

конкретизацию выражения для

величины

целесообразно проводить в

каждом специальном случае

тим, например, работы / 8 , 180,

182, 184, 1867. В работе /1 8 2 7 , в

частности, рассматривается

вопрос

о выборе аппроксимирующего экс­

периментальные данные

выражения для силы, действующей на колеблю­

щийся в жидкости цилиндр (величин

Kn ,

М и т . п . ) .

Подставляя выражения (111.3),

(Ш .5),

(Ш Л О ),(Ш .II)

.1 3 )

11.15) в соотношение

(Ш .2),

приходим к уравнению

1 г р

i t 1

(т дГ\-

a - t J J _

i s !

i s ) ~

m,rip/ ^

dr d3r l )

> + {■ 1

r /j 3

is l i s t~ d s * i s 3] !

LX A*7

Wi

T 3s,

•

dt

Щ

№

. «•*>

Ч

Пусть величина

д

как функция времени,

текущей длины и производ­

ных радиуса-вектора по

t

и s

задана.

Тогда получаем, что систе­

ма четырех нелинейных уравнений в частных производных

(Ш.1)

и

(Ш.17) служит для

определения четырех

величин у 7, у 2 ,

у а и

Т .

(Напомним, что

здесь

величины

у 1, у 2

и

у ч е с т ь

проекции радиуса-

вектора элемента длины нити г

на оси декартовой системы коорди­

н ат). Умножая уравнение

(Ш.17)

скалярно

на единичный вектор каса­

тельной к нити

(

Зг /

ds

)

и делая естественное

допущение о

том,

тяжения вдоль

нити

за счет сил инерции нити, второе - за

счет пла­

вучести

нити

и третье - за счет

гидродинамической силы сопротивле­

ния трения нити.

Введем в рассмотрение скорости текущего элемента нити

v

в

•

( v, ,

v , v3 )

и единичный вектор касательной к нити

m

г

в

(n t j,

тг , т} )

с помощью соотношений

3 7

V ,

(И1.19)

dt

I E

'•

(Ш.20)

ds

~

я - 22)

Система уравнений,

состоящая из соотношения (П .И )

и уравнении

(Ш.19) - (1D.2I),

служит для

определения девяти

величин у 1 , y z, y 3, vJt

,1 $ , Т , ы. и

f .

Она может оказаться более

удобной по сравнению

с системой (Ш.1) и

(Ш .17),

например,

при проведении численных рас­

четов. Уравнение (Ш .22)(или

(Ш .18))

удобно при получении различных

оценок для натяжения. В некоторых случаях

гол удобнее

воспользовать­

ся вместо одной из

компонент уравнения (Ш .21).

Полагая в приведенных выше уравнениях

скорость

Г

= 0 , полу­

чаем соответствующие уравнения для нити,

находящейся в покоящейся

жидкости.

2 .

Некоторые предельные

случаи

С л у ч а й

м а л ы х

у г л о в

м е ж д у

н и т ь ю

ально оговоренных случаев будем считать, что ось

у 7 направлена

ВДОЛЬ потока,

*

*

о Т

(Ш.23)

Пусть углы между нитью и скоростью потока малы,

т .е .

г я se~7 + у2 Т2 v- у3Т3 ,

(Ш.24)

где

« и

(Ш.25)

Пусть также выполнены

следующие неравенства:

(Ш.26)

м

ду3

(Ш.27)

a .

I s V « 7 .

по смещению нити от

оси

у 1 всюду,

кроме слагаемого, пропорциональ­

ного множителю Хп

. В

результате

получим

ния нити от

оси

у 1 .

В некоторых случаях может представиться целесообразным выде­

лить в уравнениях

(Ш.29) равновесное

положение

У2

(Ш.ЗО)

где у * - смещение

нити от оси

у 7 в

равновесии, у2 и у3 ~ компо­

ненты вектора смещения нити из равновесного положения.

Проводя в уравнении (Ш.29)

замену (Ш.ЗО), соответственно, для

величин у 3,

и

у3 получаем