Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

место

хд = °.

(П .215)

Подставляя выражение (П .214)

или (П .215) в уравнения для последую­

щих приближений (П .202) - (П .205), (П .206) -

(П .209) и т . д . , можно

дится к последовательному вычислению квадратур.

Рассмотрим для про­

стоты

случай

(П .215).

Решение

системы уравнений

(П .202) -

(П .205)

здесь

тлеет

вид

_

?d =&o ■

'

- *°0 *

(

? - ? * )

, K +

f i a

-

к в) ,

(п ,2 1 6 )

где

ff'fi,

fig ,

ff" ,

„О „

->0

постоянные

интегрирования.

Из уравнения

г;и

и

р

“-

(П .206)

с

учетом выражения

(П .215) получаем

(II. 217)

где

sro

-

t

величины

_

,

/>

и

—

опреде­

J j

постоянная интегрирования,

о,

/и

ляются соотношениями

(П .216).

Из уравнения

(П .207) с

учетом выражения (П .215)

получаем

А

О

J0 •>„

где

( u f -

постоянная интегрирования,

величины

&0 , f i Q, &

, р

ж

.определяются согласно соотношениям Ш.2Т6) и (П.217).

Зная величину р 1

, с

помощью соотношений

(П .208)

и

(П .209)

находим

f

I h + fi

Г

б?. = в ° i

f

о

И fi

Л

(П .219)

1

1

Л

p z

где

<у

и р

-

постоянные

интегрирования,

величины fi Q и

р 1

опре­

деляются

согласно соотношениям (П. 2Т6) и (П. 218).

Таким образом, показано, что в случае

(П .215) отыскание

попра­

вок первого

порядка к

решению

(П .216)

сводится к квадратурам. Да­

лее

исходя из системы уравнений (П .210) -

(П .213) можно убедиться

в том, что отыскание

поправок второго

порядка к

решению (П .216)

также

сводится к квадратурам

и т .д .

К р а е в ы е

у с л о в и я

д л я

п о с л е д у ю щ и х

п р и б л и ж е н и й .

Получение краевых условий для последующих

приближений в рассматриваемом

случае

проиллюстрируем на примере

следующих условий:

, Р / Х, 0 = ° ’ &/ К. 0 = ° -

(П .220)

н.

* ( Р ) / К. } ’

где Ф (р )~ приложенная к

концу нити сосредоточенная сила, являющая­

ся заданной функцией своих аргументов.

При этом в качестве

характерной длины

/

выбрана у 3

-

коорди­

ната концевой точки нити. Используя обозначения

(П .195),

а

также

обозначение

-*

ФЛ

3 (

ф, -

V

,

(П .221)

условия (П .220) преобразуем к

виду

P i/x = o

° ' в/ х - о ~ 0.

Подставим выражения

(П .201) для

,

&

и

f t

в условия

(П .222).

Ф±о1х=о 0 >

^ о /х = 7 ~

(П .223)

=- / S(Ъ о * )]Ь , - ( W b H ?(?ю •

pn h ; * o ~ 0 ' е’! $ = 0 = О.

Г

W /f.r

(fijo •*)]L , fJ

ш ' г 2 4 >

?/r./ '* {[$ 12 • ajsio * 2

7

'

& о ? г + % Ъ * % & / г ~ Г

/ (П .225)

Ч /? п ж * 1 (ъ -ж ,Т ]ъ

■ )

Ф = ф(к) , х= 7 ( с , е,]и) ■

(П .226)

Удовлетворяя

с

помощью выражений (П .216) и (П .217) -

(П .219) усло­

виям (П .223)

и

(П .224),

определяем в явном ввде входящие в указан­

ные выражения постоянные

интегрирования. В результате

решение в ну-

Пусть эффекты, связанные с растяжимостью нити, не существенны.

Тогда имеет

место условие нерастяжимости нити следующего вида:

(Ш.1)

где г и s

г- соответственно текущие радиус-вектор и длина нити.

Силовой

баланс для единицы длины нити представим так:

(Ш.2)

(Ш .З )

где t - время,

Т - натяжение,

m

и w - соответственно

масса и

плавучесть единицы длины нити,

Рл

- вес к -го сосредоточенного

груза, sk - s

- координата к

-го

сосредоточенного груза,

N - чис­

ло сосредоточенных грузов,

L* - характерная длина,

у - ускорение

силы тяжести, ]~е

- распределенная сила, обусловленная упругими

свойствами нити,

- распределенная сила гидродинамического воз­

действия потока на нить, /

- функция Дирака /907,

нормированная

следующим образом:

st *o

нити запишем в виде /52, 77,

1177

т

+

ds

е

=0

(ш .7)

М

- момент

ds

'

где

напряжений в

нити.

Пусть момент

напряжений

М

пропорционален кривизне

нити

в

рассматриваемой точке и направлен

по

бинормали к ней

ds

Os2

.

(Ш.8)

где

£ -

эффективный модуль Юнга нити, I

- момент инерции попереч­

ного

сечения нити относительно диаметра.

Подставляя выражение

(Ш.8)

вектора упругого усилия

в нити

ф ,

находим

Ф = - £ Г ^ + Л ^ ,

(W-9)

А -

е

d s 3

ds

где

произвольный множитель.

Подставляя выражение

(Ш.9) в условие (Ш.6) и учитывая уравне­

ние

(Ш .1),

определяем величину

А

. В результате

получаем

9е = £1

d s [ ds

d s 3J

(ШЛО)

ности,

то из выражения (ШЛО) получается естественное

следствие

9е

= 0

/827.

Таким образом, при сделанных допущениях распределен­

ную силу

/ е

, обусловленную упругими свойствами нити,

определяют

выражения (Ш.5) и (ШЛО).

Проведем детализацию гидродинамической составляющей распреде­

ленной

силы,

действующей

на нить. Представим ее в следующем виде:

J/,~ f a +/ п *i f * f v '

(шли

j

-

/ п -

где

сила инерции^присоединенной массы жидкости,

сила

сопротивления формы, /

- сила сопротивления трения,

-

боко­

вая сила, обусловленная срывом вихрей.

Влияние присоединенной массы жидкости учтем как влияние движу­