Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

скорости потока и нити мало

по сравнению с ее равновесным значени­

ем

т ,+ уо ъ ) №

* ъ тз )

« 1 -

(ш- 33)

« '■

Тогда в уравнении

(Ш.32)

слагаемое,

пропорциональное величине

, линеаризуется. В результате получаем

m £ Hi +

( dt

+ у — ) у - — If +

J ds J

d t z

о d s ) t

d s [ [

/

+ f

<з4Ус

a->> 4n

d y * l d

d

ds*

— * У —

y0

/

d s

dt

0

ds,

(Ш.34)

* J t

—

-

f ■ = О , i

=2,3.

dy.

r , s

d t

J Vi

=f v3

= о ,

а амплитуды ко­

Положим в уравнениях” (Ш.29)

ш = у 2 =

лебаний достаточно

малыми,

так

что

нелинейным слагаемым

в

уравнении для величины

у 3

можно пренебречь.

В результате

для

у~

имеем

, ,

,

д 'ц J

M f - L . г

* ) ’, * . f i . £ V

m —

(Ш.35)

dt*

( d t

0 d s /

ds *

’ { [ r s ' w l l M L L b .

0.

* // * f

J

ds J

yc

d t .

Сравним уравнение (Ш.35) с уравнением (5 ) из работы /1867.

Положим в уравнении

(5) с

=

ст

и проведем следующие замены:

,У + У

.3

■ У „ .

cTMUf _ „

C2MuZ

(ш.36)

о

•

23

ь

т*

В результате получаем

d 4y i

д !г

+ MI—-+ V„

E l

d t?-

dt

'0 ds

d s 1

= Z

F ,

y ( * - * K

(Ш.37)

ds (l '

У

J dssJ / ygd [|ddtt

0 ds /

Сравнивая уравнения (Ш.37)

и (Ш .35),

ввдим, что они не совпа­

на нормаль к

гибкому цилиндру, в то время

как остальные

члены

это­

го уравнения

представляют собой проекции

соответствующих

сил на

ось у

3 . Отметим, что некорректность близкого происхождения содер­

жится

также в уравнении (16) /1807. Она связана с тем обстоятель­

ством,

что один 'и тот же эффект (сопротивление трения) учтен в

си­

Н и т ь

с

п р о и з в о л ь н о й

с т р е л к о й

п р о г и б а

в

г о р и з о н т а л ь н о м

п о т о к е .

Пусть в

равновесии

нить характеризуется следующими выражениями:

%

+ у 3 Т2 ,

(Ш.38)

T °

= T °(s),

(Ш.39)

где

г0

и

Т -

соответственно

текущий радиус-вектор и натяжение

в равновесии.

Пусть^ далее,

~ =

7g * y 2 (s, t ) T 2

,

(Ш.40)

Т = Т ° + Т \

(Ш.41)

где

у 2 -

малое

смещение нити из равновесного положения, Т 1 - ма­

частности, следующим условиям:

(Ш.43)

№«'■

(111.42)

Подставляя

соотношение (111.40) в уравнение (Ш .1),

с точностью

до слагаемого,

квадратичного по возмущению, имеем

(Ш.44)

Подставим

соотношения

(111.23), (Ш.40) и (Ш.41) в уравнение

(Ш .18). Проводя затем разложение,

приравнивая величины одного по­

рядка малости

и интегрируя

соответственно

в нулевом и первом

приближении по возмущению,.получаем

Т° =

Г

- ш у°

-

(Ш.45)

О

3 о

Ъ у о ‘

' т'=

(111.46)

г ' = °-

(111.47)

Предположим также, что возмущение

нормальной к нити составляю­

Проводя разложение и учитывая соотношения

(111.38), (Ш .39), (Ш .42),

(Ш.44), (111.47) и (Ш .48), соответственно, в

нулевом и первом при­

ближении по величине возмущения получаем

Подставляя выражение (Ш.45) в уравнение (Ш .51),

с

помощью по­

лучившегося уравнения можно определить величины у ’ (s)

и Уд ! s > в

функции текущей длины нити s

. Далее

с помощью выражения (Ш.45)

можно определить равновесное

натяжение

Т °= T ° ( s ) .

Если силами,

в гл.П .

Подставляя величины y ’ is> , у 2 (s)

и T°(s)

в уравнение

(Ш .52),

можно выразить его

коэффициенты в функции

величины

s .

Пусть

величина f vZ

есть

заданная функция величин

s , t

, dy2/d t ,

dy2/d s

и т .д . /13, 4 3 ,

537.

Тогда получаем,

что задача о малых ко­

ния, то вторым слагаемым в выражении для упругой

силы в

(Ш.52) мож­

но пренебречь.

Выше рассмотрен случай,когда вектор малого

в

определенном выше

смысле смещения нити, обладающей произвольной

стрелкой

прогиба,

нити, рассматривались,

в частности, в работе

/187. При этом авто­

ры предприняли попытку

учесть нелинейности,

обусловленные силой

Н и т ь

с

м а л о й

с т р е л к о й

п р о г и б а

в

н а к л о н н о м

п о т о к е .

Пусть соотношение

между

плаву- .

честью

нити,

скоростью потока и натяжением в нити таково,

что

на­

тяжение

в нити практически

постоянно (7" = Т°

=co n st), а характерная

величина стрелки прогиба является малой. Пусть

ось

у 7 проходит

через концы нити. Ось

у 2

выберем таким образом,

чтобы вектор ско­

рости потока

был компланарен плоскости

(

у ’ у 2

) .

При этом угол

между вектором скорости потока и осью

у 1

обозначим через

у>°

, так

что

V е

е

ш созф 0 е

!

+ sin ф ° е

(Ш.54)

о о

о

”

~

2

При сделанных допущениях для текущего радиуса-вектора нити Т

справедливы соотношения (Ш.24)

и (Ш .25).

Подставим выражения

(Ш.24)

и (Ш.54) в уравнение (111.17). Проводя в получившемся соотношении

разложение и

пренебрегая при этом величинами,

квадратичными по

сме­

щению всюду,

кроме слагаемых, пропорциональных величинам

Кп

и

,

получаем следующие уравнения для компонент смещения

у 2 и

у 3

:

д гу

I t 2

+

/ ип° е2-

(/dtд *

C ( i * < £ > / < ■

v2J

'

f

(9 гТг + ЯЗТз ) [ М

ип - - j r h t t i ’ h2>3- (Ш*55)

Здесь использованы обозначения

( I . I I ) ,

а

также

следующие:

U° з

о

V

г ’

U°

=

V sin ф°.

(Ш.56)

т

п

о

г

Можно видеть,

что

полученные уравнения для

величин у 2 и

у 3

ной скорости

потока и нити по сравнению

с ее

равновесным значением,

Т ds

(Ш.57)

то уравнения

(Ш.55)

принимают вид

dt2

dt

т ds j

.

г Г ^ V

= (i-2)w+

ds2

ds 4

+

In s,n Ф

+

-2 <3-i)[r„

(Ш.58)

U i • L*2'3-