Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

Выделим в

полученных выше уравнениях равновесное

положение нити

У*

У02

+ У2 , у 3 - *

у 03

У3 ,

(Ш-59)

где у *

и

у * -

компоненты

вектора

смещения нити от

оси

у 1 в равно­

весии,

ж

у3

-

компоненты

вектора

смещения нити из

равновесного

положения.

Проводя в уравнениях (Ш.55) замену

(Ш .59),

соответственно для

величин

у г , у^,

У2 и

у3

получаем

+

( 3 - i ) a

sindi°+

—

/

7*1 и*.

,

l =

2,3,

(Ш.60)

/

'

у>2 /

п /

П1

'

'

’

'о

т

d*y<

. н ( ± . u ‘ ± ) ’ , . . T‘ f 2 L . [ l S l 2 i

d t2

( d t

f d s j

l

6 s2

d s 4

'

Г ’3 -i) U °-

dt

(3 - i)

r j sin <p°j,

, i =2,3,

(111.61)

n

~u*= u°n 7 - u L

о Ч(Уг0 е2 + У30 %)

— — -

n

Jn c2Z

°T

ds

. Проводя в уравнении (Ш.58) замену

(Ш .59),для

величин

У3

соответственно

имеем

[ M (U ° f-

= а - 2 ) ш +(з -1 ) у з г п ф 0 +

* In lU

lt- j

( з - i) ( u ° - u ° ^ 2 . ) - u °

T i l 1,

t = 2 ,3,

(Ш.63)

Y0

l

I n

*

ds J

*

ds J

-i) sin 2фу ж

r,

U f * * / ' 4 1

dy.

- /

(1D.64)

- Л

= 0 , i = 2,i?.

d t

J

vi

При

уравнения (Ш.63)

и (Ш.64)

несколько

упрощаются. В

частности,

уравнения

(Ш.64)

принимают вид

го dZyL

+ E

l

f

. О, (Ш.65)

( т + М ) А ^ _ T ° ^ L

ds4

Л

di2

ds2

уд

Jri

С л у ч а й

м а л ы х

i - 2 , 3 .

м е ж д у

н и т ь ю

у г л о в

и в е к т о р о м

с и л ы

т я ж е с т и .

Пусть

соотношение

что

г ” =» se~ + и ] Т + у 2е ) ,

(Ш.66)

где

(Ш.67)

Подставим выражения (Ш.23) и .(Ш.66)

в

уравнение (Ш .18). Прене­

брегая в

полученном выражении несущественными

слагаемыми, получаем

Т = Т ^ + ш ( L - s )

,

(Ш.68)

где

Tt -

натяжение на конце нити (при

s

= L

) .

Подставим выражения (Ш .23), (Ш.66)

и (Ш.68) в уравнение (Ш .17).

малости по смещению всюду,

кроме слагаемых, пропорциональных коэф­

фициентам Хп иж Xf

, приходим к следующим уравнениям:

* *

-

(т+М)

д гу 1

____

+

d i2

3

■Cl d s 4

ds ,

d2yl

Ч¥)■Cl

C4yj

(т + М )

dt2 - i

f r

-

d s 4

ЬАк- f(2-i)V-(3 -i)0A

A

1,2 ■

(Ш .71)

°

'

dtj

i

Выделим в

уравнениях

(Ш.69)

равновесное

положение-

У Уд■У« У+, у . У

J2 ’

(Ш.72)

где у ' - смещение

нити от оси

у3 в

равновесии, у1 и у, - компо-

ненты вектора

смещения нити из

равновесного

положения.

нению (Ш .73), а также к

следующим уравнениям:

(т +м )

£ %

_д_

f j

Очи-

d t 2

ds

—-if

ds4

( 3 - i) t q ni-q4 ) dy-

,

(Ш.75)

Yo

d t

4 i

'

'

'

Отметим, что решение уравнения

(Ш.73)

при

E I =

0

в иных обозначе­

ниях рассмотрено в параграфе 4 гл.П .

В уравнения, приведенные в

настоящей главе,

входят величины

/ ., i = I, 2, 3, — компоненты

"боковой" силы, обусловленной срывом

замыкания есть задание

функций f v -

с

использованием теоретических

и экспериментальных данных, например,

в виде

д т* п у Р )

(Ш.76)

dsm d t mJ ’

г , р

= 1 , 2 , 3 ;

т , п = 0 , 1 , . . . .

руем уравнения

(Ш.16) по s

от s ^ - a s

до sk + a s

. Устремляя

затем &s~*0, и

используя

нормировку

(Ш .4),

получаем следующее

условие в точке

нахождения к -го сосредоточенного груза:

Рк

д 1г

tsk +0

= рк тз +

(Ш.78)

I в

* = 1,2,..., N.

Очевидно, в

точках

расположения сосредоточенных грузов должны

0.

(Ш.79)

I

is

, * £ ) /

* *

" в 0

(Ш.80)

d s2J ] s k -o

Условия (Ш.80] есть

условия

непрерывности моментов напряжений в точ­

ках расположения сосредоточенных грузов.

Перейдем к рассмотрению некоторых возможных типов условий на

концах нити. В задаче могут

быть

заданы

смещение и ориентация нити

в коренной

точке:

г /

ds Is* о

(Ш.81)

r ’°{ t

)

и m°( t

/■*•0

где

) - заданные функции своих аргументов.

В случае шарнирного закрепления коренной точки нити вместо вто­

рого условия

(Ш.81)

имеет место следующее:

о

= 0.

(Ш.82)

Условие

(Ш .82) означает равенство

нулю приложенного

к нити в точке

s =

0

изгибающего момента.

Пусть

второй

конец нити

( s = L ) присоединен к телу достаточно

компактной форш,

характеризуемому

эффективной массой

Мк , харак­

терной площадью

St

, весом

в жидкости

/°

и коэффициентом сопро­

тивления

. Условие динамического равновесия сил,

приложенных

к этому

телу,

имеет

ввд

/

j2-*-

K *S *P

и Г

+

'771 '

(Ш.83)