Файл: Салтанов, Н. В. Гибкие нити в потоках [монография].pdf

Выделяя в условиях (Ш.87) равновесное положение нити с помощью

замены

(Ш .72),

приходим к условию

(Ш .88), а

также к следующим ус­

ловиям:

»

^

+

№-i) X+SxP Уд

.

р

М

&У1 ^

ЗУ,-

312

dt

'*

3s

//

- 0 ,

i=1. 2.

(Ш.90)

l / s * {

Пусть имеют место

условия

= 0 ,

т ° ( t) = Т3 .

(Ш.91)

Тогда, подставляя выражение (Ш.66)

и (Ш.91)

в условия

(Ш .81), по­

лучаем

i

,

Ч г

-

(Ш.92)

3s ls=0

Подставляя выражения (Ш.66) и

(Ш.91)

в

условие (Ш .84),

соответ­

ственно

записываем

, .

,

=0.

(111.93)

3 2и1

/

3s ‘■/J=L

Аналогичный ввд после подстановки выражении (Ш.66) и (Ш.91)

принимает условие

(Ш .82). Проводя в соотношениях (Ш.92) и

(Ш.93)

замену

(Ш .72),

можно получить соответствующие

условия для величин

К

> У2

и У3 •

(Ш .27). П усть,далее,

Пусть справедливы соотношения (Ш.23) -

составляющей силы

£„

, параллельной оси

у 1

,

можно пренебречь

* 0.

(Ш.94)

Тогда, подставляя выражения (Ш.24)

и

(Ш.28)

в условие

(Ш .83), про­

водя разложения и пренебрегая затем слагаемым,

имеющим второй и

выше порядок малости,по углу между

нитью и осью

у 1 ,

а также по от­

ношению скорости

нити к скорости потока,

получаем

т

K * s , p r Z

I

(Ш.95)

<jL

~ ----------------

4 *

43t2^ v0

Jd- - + v 0

&<ti ~

3t

0 3s J

“

•96)

Выделим

в условии' (Ш.95) равновесное

положение.

Проводя в

нем за­

мену (Ш.ЗО) соответственно для равновесного

смещения

у 2 нити от

оси

у7 и для компонент

у2 и

у3 вектора

смещения нити из равновес­

ного положения, получаем

(Ш.97)

d 2yj

/

=/7, 2=2,3. (Ш.98)

i t 2

s=L

В некоторых случаях может представиться целесообразным в каж­

дую компоненту краевого условия (Ш.83) ввести отличные друг от дру­

га значения эффективной массы

и коэффициента сопротивления. Пусть

-

коэффициент сопротивления для направления

у 7,

и M j ( i =

= 2,3)

- коэффициенты сопротивления и

эффективные массы для направ­

лений

у 2 и у 3 .

В результате,

например,

вместо

условий

(Ш.98) полу­

чаем следующие:

XJ Sf pV0

ду,- _

Г *

d t2

2

at

*

дз

д \

_■ в . 1 !

= 0 .

г = 2 , 3 .

(Ш.99)

- E I d s3

" J / s . L

Вдесь

величина

)

место

условия

Kt

Tf ФВ , M ‘f * 0 , х х‘

* О, E l = О,

и О,

i =2,3.

(Ш Л О О )

Тогда условия

(Ш.99)

упрощаются и принимают вид

/

= 0 ,

1=2,3.

(Ш.Ю1)

ds / з =1

степени

свободы концевого тела и т .п .) , то

краевые

условия при

$ = L ,

естественно, усложняются.

Приведем условия баланса сил на свободном конце нити с нулевой

плавучестью, находящейся в соосном потоке

жидкости.

Они имеют вид

а / = j

|

Sk

(s) d s ,

i=

2,3,

(П1.102)

где

,

■

L'1

S -

площадь поперечного

сечения ни­

1 -

длина оконцовки нити,

ти,

(s ) - текущая площадь поперечного

сечения оконцовки нити,

-

безразмерный множитель,

f2 4

1

.

Для достаточно

вытянутой

оконцовки нити величина

/

* / .

В заключение отметим, что

при

E I =

0

уравнение (Ш .17), а также

соответствующие той или иной

специальной

задаче краевые условия

рассмотрения критериев подобия в механике

нити /58,

1767. Далее

будут записаны критерии подобия для

нитей

в потоках,

полученных

на основе уравнений (01.1) и

(Ш .16),

а также некоторых типов крае­

вых условий к

ним. При этом

скорость потока считается заданной со­

гласно (ГО.2 3 )

. Воспользуемся следующими определениями:

- [у

л* tf(6--ff )->A

] e t \ l~ [£ E jl£ x/ЛЛ ) 1-

I t i

P

J

3

£ t o ! o e - [ д е д б 3 Л

-Л

d p f

L - llf v T-?l)±)2pLdA}+

M ~дб)

v ж

[ °

1 3 U 9 s ] 7 3ff

t/ / » Л —

) * 9 ( [ * ]

/ Ш .107)

-,A vffV/(

7

5'r (

<f7'

На основе соотношений (Ш .105) -

(Ш.107)

запишем следующие крите­

рии подобия движения нитей:

- к .

=

idem

(к = 1,2, ... , N) ,

(Ш.108)

mgL

6к =

idem

(к ~

1,2,

. , N ),

(Ш.109)

mg

= idem ,

(Ш.ИО)

£- ~ т = idem,

(Ш ЛИ )

m gL3

Л. = id em ,

(Ш .112)

т

’

2т

(Ш .НЗ)

(Ш .114)

яК / fidL

— Ц------ - s ictem,

2т

(Ш .115)

Ур ■= idem.

YgL

'

(ШЛ16)

М К Ъ

-

id em -

Далее запишем критерии подобия для нитей, получающиеся на ос­

нове рассмотренных выше условий (Ш.78)

- (Ш.84).При

этом наряду

с определениями (Ш.105) используем

следующие:

Р

о

3 Ыщ

Я *

=

mL

к

2т

-

_

Р *_

(Ш .117)

Пусть также выражения

[

я ° ] ,

[ я т° ] и [

^ ] обозначают наборы без-^а

размерных параметров,

характеризующих

соответственно

величины р ,

m ъ p , В результате условия

(Ш.78) - (Ш.84) запишем в

безраз­

мерном виде

в б )! б ,- о

р 3 Сд* Ь * ™ ;з1 б , . о '

I 6 . + 0

(ШЛ19)

= 0,

/ 6 ,-0

I дв

a s t j j f ^ o

(Ш.120)

/ % * • * ' ( [ * & * . ) ,

(Ш.121)

£

!

(Ш.122)

'

д б /ff.o

^ ) L - -

(Ш.123)

\ 3 6

3 6 2J

(Ш.124)

Ч \

* ?

) 1

- о .

(Ш.125)

36

3 6 2J / f f ; ,

Можно видеть, что условия (Ш.118) -

(Ш .120),

(Ш.123)

и (Ш.125)

не приводят к появлению дополнительных к

(Ш .108)

-

(Ш .П 6) крите­

риев подобия. Из условий

(Ш .121),

(Ш.122)

и (Ш.124)

получаем сле­

дующие дополнительные к

(Ш .108)

-

(Ш.116)

критерии подобия:

Р ° ( [ л р°

] '

* * )

-

l'd em -

(Ш.126)

™ ° ( [ л т° -] ’ Р*)

= г'Ыет’

(Ш.127)

к ,

idem,

(Ш .128).

ml

K *S *P

■-idem,

(Ш.129)

2т

7r (IKJ-

=

(Ш.130)

-7 i— = idem ,

(Ш.131)

mgl

которые следуют из

условий

Рассмотрим также критерии подобия,

(Ш .102). Используем определения (Ш .105),

а также

следующие: