Файл: Реология в процессах и аппаратах химической технологии [сборник статей]..pdf

Подставляя в уравнение (5) соотношения между напряжени­ ями и скоростями деформаций, получим уравнение течения вязкой жидкости

Силы трения струи о воздух незначительны, поэтому мож­

dPo

= 0.

dz

Пренебрегая нелинейным членом vz— ^ — , вследствие

больших сил вязкости, получим следующее приближенное уравнение, описывающее течение вязкой жидкости в струе.

Начальным и граничным условиями уравнения (8) являются равенства

Уравнение (8) с начальными и граничными условиями (9) справедливо только в области течения среды подстановкой

32

Начальное и граничное условия запишутся

vJ(i>1°о)=т?а+ Ц ?’

Последнее условие является неоднородным.

Для того чтобы свести это граничное условие к однородному, положим

Решение уравнения (13) при условиях, аналогичных (14), известно в теории теплопроводности и имеет вид

г - г т ш - Ж Ч * ! # ] -

(15)

После обратных преобразований (12) и (10) решение урав­ нения (13) запишется в виде

«■,- ч; f< -«l ( г 4 т г I " I T * is%U j "w x

«*>

site Я

^ i 2 = ^ |e x p ( - Q ) ^ 2

0

— интеграл 'вероятности.

Преобразованием переменных и последовательное инте­ грирование получающихся выражений приводит к зависимо­ сти скорости от времени и координаты.

*4=

Как отмечено выше, выражение (16), описывающее изме­ нение скорости во времени и пространстве, справедливо толь­ ко при значениях координаты z меньших длины зоны тече­ ния 1, то есть при zs^ 1.

Для дальнейшего анализа течения жидкости в струе целе­ сообразно упростить выражение (17).

Для высоковязких продуктов и малых временах t можно

z

положить, что yg—— <1, тогда, разлагая в ряд экспонен­ циальную зависимость и интеграл вероятности, найдем, что

Используя в приближенном выражении (18) только пер­ вые члены, можно найти изменение длины зоны течения во времени.

Учитывая, что при z == 1, vz= —^ — , где 1— длина струи

34

Начальным условием последнего уравнения является ра­ венство нулю длины струи в начальный момент времени, т. е.

при t = 0, 1= 0.

Преобразуем последнее выражение к безразмерной форме, введем подстановки

Уравнение (21) является уравнением типа Рикатти, чис­ ленное решение которого при различных значениях от 0,005 до 0,1 было проведено на электронно-вычислительной машине «Наири». Алроксимация полученных решений имеет вид

Точность апроксимадии лежит в пределах 30%. Столь вы­ сокие отклонения от истинных значений L наблюдаются для узкого диапазона времени 1,3< 1,5. При других значениях Т точность апроксимадии составляет 3—5%. Следует отметить, что и в начальный момент времени при Т<1, апроксимация истинного выражения удовлетворительна.

Для определения длины и формы нераспавшейся струи не­ обходимо знать изменение радиуса струи R во времени и про­ странстве, т. е. R= R (z, t).

Учитывая, что компонента скорости vz не зависит от ради­

Поверхность струи в произвольный момент времени t является линией тока проходящей через точку с координатами z = 0 и dz то

Интегрируя при граничном условии

Для струи будет справедливо интегральное уравнение нераз­

выражений (22) и (28) найдем изменение наименьшего ради­ уса струи во времени -ЯШ _ i

- #Д08

3.

(29)

Разрыв струй происходит при некотором значении радиуса Rmin, которое определяется физико-механическими свойства­

ми среды.

Определив значение Rmin, можно найти значение времени отрыва и длину нераспадающейся струи.

ВЫВОДЫ

Из теоретического исследования гидродинамики падающей струи вязкой жидкости получено, что на максимальную длину нераспавшейся части струи влияют начальная скорость исте­ чения струи из отверстия, вязкость истекающей жидкости, ускорение свободного падения и диаметр отверстия, через ко­ торое происходит истечение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Котляков Н. С., Гринер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М., 1970.

36

ГУСЕВ В. Б., ТОРНЕР Р. В.

НАНЕСЕНИЕ ПОЛИМЕРНОГО ПОКРЫТИЯ НА ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ ОБОЛОЧКУ

Нанесение полимерного покрытия на тонкостенную цилин­ дрическую оболочку производится заполнением кольцевого зазора, образованного ее внутренней поверхностью и поверх­ ностью пуансона, оформляющего контур покрытия. В процес­ се последующей вулканизации полимер скрепляется с предва­ рительно загрунтованной поверхностью оболочки и после удаления пуансона остается на ней. Основные затруднения, возникающие при заполнении, состоят в том, что давление в зазоре ограничено прочностью оболочки, а время заполне­ ния— длительностью индукционного периода полимера. Уве­ личение температуры литья позволяет снизить давление за счет уменьшения эффективной вязкости полимера, но длитель­ ность индукционного периода при этом также уменьшается. Поэтому при изменении параметров формования возможно такое их сочетание, при котором вулканизация произойдет раньше, чем будет заполнен зазор.

Рассмотрим задачу о нахождении оптимальных условий литьевого процесса посредством его математического модели­ рования с учетом геометрии формы и реологических характе­ ристик полимера, представляющего собой псевдопластическую жидкость. В качестве дополнительных условий примем, что

среднее приращение температуры расплава может быть най­

Можно показать, что для указанных выше условий дисси-

37

пативный разогрев полимера, рассчитанный по уравнению (1), составляет не более 0,3 — 2,5°С.

При построении математической модели введем следующие

допущения:

а) процесс течения является квазистационарным, одномер­ ным и изотермическим, а влияние инерционных и массовых

сил на течение незначительно; б) величина зазора мала по сравнению со средним радиу­

сом и его можно развернуть в плоскость; в) на границе полимер — поверхность формы выполняется

условие прилипания; г) реологические свойства полимера описываются степен­

ным уравнением вида:

где т)0 — значение эффективной вязкости при — ^ — = 1

(или коэффициент консистенции), п — индекс течения.

На рис. 1а представлена схема заполнения кольцевого за-

Рис. 1а. Схема заполнения литьевой формы при жесткой фик­ сации оболочки. 1 — пуансон, 2 — оболочка, 3 — заглушка, 4 — полимер.

зора между оболочкой и пуансоном оснастки для литьевого прессования, оболочка жестко зафиксирована относительно

38

пуансона. Заполнение зазора производится с торца через не­ сколько параллельных литников круглого сечения.

Начальные и граничные условия задачи запишем в виде:

х = 0 при t = 0, где t — время; ft

пх = 0 при у = ± —~— , где Н — величина зазора;

т Ух = 0 при у = 0, где Т у х — касательные напряжения; Р = Р0 при х = 0, где Р — гидростатическое давление; Р = О при х = х.

Уравнение движения при сделанных допущениях принима­

Интегрируя это уравнение и определяя постоянную инте­ грирования из условия: тУх = 0 при у = 0, получим:

где скорость в средней плоскости определяется из уравнения2

Средняя скорость течения определяется также очевидным со­ отношением:

dt

39