Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

§5. Обратные тригонометрические

иобратные гиперболические функции

Обратные тригонометрические функции определяются как функции, обратные тригонометрическим. Число w называет­ ся арксинусом z, если z= sinw, и обозначается w = Arc-sinz. Найдем выражение для w, используя определение синуса комплексного аргумента:

Решая это уравнение относительно eiw, получим:

elW= iz -j- V 1 — z2 .

Здесь, в отличие от обычной формулы для корней квадрат­ ного уравнения, нет смысла перед радикалом брать двойной

знак, так как і / z обозначает все значения корня. Зная вы­ ражение для elw, найдем iw:

iw = Ln (iz + V І — )

или окончательно —

Arc-sinz является функцией многозначной. Аналогично опре­

64

или

e2iw - 2 zeiw + 1 = 0 .

Решая это уравнение относительно elw, получим

eiw = г + Ѵ І Г ^ Т .

отсюда

iw = Ln (z + У z2 — 1 )

и окончательно —

= — i In []/ 2 + (— l)k] + k я .

Найдем выражение Для Ars hz, тогда

z = sh w

откуда

e2W— 2 zew — 1 = 0 .

Решая это уравнение относительно ew, получим:

ew = z + У z2 + 1 или w = Ln (z + У z2 + 1 ),

откуда окончательно —

Аналогично найдем остальные обратные гиперболические функции:

ГЛАВА ШЕСТАЯ

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

§ 1. Определение производной от функции комплексного переменного

Производную от функции комплексного переменного фор­ мально определяют так же, как и производную функцию действительного переменного. Пусть в области D задана функция w = f(z). Возьмем в этой области точки z и z+Az. Приращение Az взято таким образом, чтобы точка z+Az принадлежала той же области D. Составим отношение при­ ращения функции к приращению аргумента:

Очевидно, что отношение (75) является функцией прираще­ ния Az.

Если существует конечный предел отношения прираще­ ния функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, то этот предел называется про­ изводной от функции w = f(z) в точке z, взятой по области D.

Кратко производная от функции в точке z определяется равенством:

66

Заданная в области D функция w = f(z), имеющая в точке г этой области производную, называется дифференцируемой в точке z области D.

Как видно, определение производной в комплексной'об­ ласти формально совпадает с определением производной функции действительного переменного. Однако-условия диф­ ференцируемости функции комплексного переменного явля­ ются более ограничивающими, чем условия существования производной от функции действительного переменного. Для существования производной функции действительного пе­ ременного необходимо и достаточно равенства лёвосторонней и правосторонней производных в этой точке. Определе­ ние производной функции комплексного переменного требует равенства пределов отношения (75) при любом способе стремления приращения аргумента к нулю. Вполне очевидно, что различных способов приближения точки z+Az к точке г в комплексной области значительно больше, чем в области действительного переменного. А требования выдвигаются та­ кие же, то есть по какому пути точка z+Az не приближалась бы к точке z, отношение (75) должно стремиться к одному и тому же пределу.

Рассмотрим некоторые примеры.

I. Определить, будет ли дифференцируемой в точке z = 0

функция f (z) =X+y+ixy.

Данная функция определена и непрерывна во всей комп­ лексной области, в том числе и в точке z = 0. Составим в этой точке отношение приращения функции к приращению аргу­

Будем считать, что Az стремится к нулю вдоль действитель­

Таким образом,- при различных способах стремления Az к ну­ лю получаются различные, значения предела отношения при-

2 . Функцию 'f(z0) = X можно рассматривать как функцию действительного переменного. В каждой точке действитель­ ного переменного она имеет производную

df(z) _ ,■ dx

Следовательно, функция f(z)=x является дифференцируемой на всем множестве значений действительного переменного. Но эту же функцию можно рассматривать как функцию комплексного переменного. Она определена и непрерывна на всем множестве комплексных чисел. Ее значения равны дей­ ствительной части соответствующего значения аргумента. Возьмем любую точку z0=xo+iyo плоскости и зададим произ­ вольное приращение Az = Äx+iAy. Отношение приращения функции к приращению аргумента определим выражением:

Если точка zq-{-Az = (x0-f-Ax)-fi(y0-f-Ay) стремится к точке z<j по прямой, проходящей через точку Zq параллельно мнимой

потому что в точках этой прямой Ах—0.

Если точка Zo+Az->Zo— по прямой I (z) = I (zo‘) , то

всех точках плоскости, хотя она всюду непрерывна. Последний пример показывает, что одна и та же функция

является дифференцируемой в области действительного пе­ ременного, но не имеет производной в комплексной области. Объясняется это тем, что условия дифференцируемости функции комплексного переменного являются более стесни-

68