Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

сти функции w =f(z) в данной

точке определяются: еледую-

іцей теоремой.

Для

того

чтобы

f(?) = ц (х, у)-+-

Т е о р е м а .

функция

-+-іѵ(х, у), определенная в области D, была дифференцируе­

мой в точке z = x-)-iy, необходимо и достаточно,

чтобы в этой

точке:

переменных ы.(х,

у)

и ѵ(х,

у)

а) функции действительных

были дифференцируемы;

и ѵ(х,

у.) связа­

б) частные производные функции и(х, у)

ны соотношениями:

du

_

dv

du

_

dv

dx

dy ’

dy

~

dx

4

^

Пусть функция f(z)

дифференцируема в точке г. Это зна­

чит

Ііш

Aw

ііш

Ац -f- іA V

f'(z)

(78)

д ' =

A X + i A у

Az-0

С

Ax-0

Ay-0

ствительной оси. В этом случае из равенства

(78)

получим:

,

A w

ІІШ

A u +

1AV

=

Au

t (z) =

Bm- д -

A X

lim

к X

Az-0 U L

Ах-0

Ax-0

+

Д V

du

+

i

dv

(79)

ilim

dx

dx

Ax-0

f'(z) = 41m

А и + 1 А V

= lim

Аѵ

— іііт

Ди

і А у

Ay

Ду

'Д у - 0

Ду-*0

Ду-»-0

дѵ

.

ди

(80)

dy

— 1

dy

В силу существования производной f'(z)

в равенствах (79) и

(8Q) существуют и частные

производные

от функций u(x, у)

и ѵ’(х, у).

Так как предел (78) не зависит от закона стремле­

ния Дг к

нулю, приравняем

правые

части равенства (79)

и (80):

du

дѵ

_ дѵ

du

dx

dx

dy

dy

du

_

дѵ

du

дѵ

ду

ду

И ду

dx

’

Ди ——;— Д X А----5— д у +

а, I А Z

,

dx

dy

Дѵ =

Дх -f

Ay +

a2 I

Az I

,

(81)

где ui наг — бесконечно

малые

величины,

то есть аі->-0 и

аг-М) при Ах-й) и Ду-й) (а это значит,

что и Az = Ax+

+ іАу-й)).

Aw

_

A u -f- i А у

Az

~

Дх + іАу

du

d l Лх ^---- ^y~Ay + i ( dx~Ax + "fy~ ^ y ) + ( ai +

la2^

z

Ax +

i Ay

’

Используя условия Коши-Римана в числителе,

заменим

du

dy

дѵ

дѵ

du

на

Тогда последнее равенство

н а ------=— ,

а —=—

------ .

dx

оу

ох

перепишем так:

^ ( Д х + і Ду)+ 1 ^

(A X + i A y) +

(«! -f i a2) I Az I

Aw

A z

A X +

i Ay

du

du

,

(a-i

4- 1 а2) I

Az

I

(82)

dx ^

dx

'

A X +

i A у

Но IAx+iAy| = IAz|, поэтому

(ai +

ia2) |Az|

I <*i

+ i a2 I *

Ax +

i Ay

При Ax-vO и Ay->-0 сц->0

и

a2->- 0,

а это

значит,

что

и

I Ct1—|—І Ct2 ] —1НТ

при любом

способе

Переходя

к пределу в равенстве (82)

стремления АЪ-И), получим окончательно:

А w

f'(z)

du

+

1

dv

lim

dx

dx

•

Дг-*-0 Az

dv

Так как

du

существуют в данной точке, то су-

dx

dx

Шествует и конечный предел

А w

Hm - д 7

Az-»0

Мы доказали, что условия теоремы являются

необходимыми

и достаточными для дифференцируемости функции

w = f(z)

в точке z = x+iy. Используя условия

Коши-Римана, выраже­

ние для производной функции w =f (z)

можем

записать од­

ним из следующих способов:

•

а)

Г (z)

=

du

дѵ

dx~ +

l “5 x“ :

б)

f'(z)

=

дѵ

.

du

ду

1

dy

’

du

.

дѵ

(83)

в)

Г (z) = • dx

1

dy

’

В)

f' (z) =

дѵ

,

-

дѵ

ду

r

1

dx

'

О [f(z) +

<p(z)r =

f'(z) +

4>'(z);

2)

[f (z) • Ф(z)]/ =

f'(z)<j>(z) + f(z)y'(z);

3)

f(z)

V =

r(z) •

y(z) — фДг) • f (z) .

Ф(z)

Ф2(z)

4)

f[y(z)]' =

Г [у (z)]

• ф '(г )^

5)

f'(z) =

Ф (w)

В последнем

равенстве

f(z)

и y (w )— взаимно-обратные

тальных понятий теории функции комплексного

переменно­

го и тесно связано с дифференцируемостью функции.

О п р е д е л е н и е 1.

Функция

w = f(z), однозначная и

дифференцируемая в каждой точке области D,

называется

аналитической в этой

области

(аналитическую

функцию

иногда называют голоморфной или регулярной).