Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

Скачать файл (5,36Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 62

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2. Логарифмическая функция

Логарифмическая функция есть функция, обратная пока зательной. Число\ѵ называется логарифмом числа гфЪ, если cw = z,n обозначается w = Lnz.

Положив z = г • eitf\ а w = и + 1ѵ, получим:

z = ew = eu • eiv = г • е'?.

Отсюда имеем 2 равенства: eu = r и ѵ = ф+кя. Из первого ра венства следует, что u = lnr есть обычный натуральный лога рифм положительного числа г:

w = Ln z = и + іѵ = ln г + і (ф + 2к и) =

=	In I z I -f i (arg z -ф- 2k тс) = ln 1z I -f i Arg z.
Окончательно:
		Ln z — In I	z I +	I Arg z ,	(62)
Формула	(62)	показывает,	что	логарифмическая	функция

комплексного аргумента имеет бесчисленное множество зна чений. При к=0 она будет иметь г л а в н о е з н а ч е н и е логарифма, которое обозначают обычно символом Inz, то есть

ln z =	ln I z I -f- i arg z .	(63)
Если z действительно	положительное число,	то argz = 0 и

!nz = ln|z|. Таким образом, главное значение логарифма дей ствительно положительного числа совпадает с обычным на туральным логарифмом этого числа.

П р и м е р	I.	г ——1. Найти 1п(—1) и Ln(—1).
I	z [	= 1, argz =	следовательно,

Ln ( — l) = (2k -j- l) тс i ; in ( — l) = it i.

П р и м е р 2. z = i. Найти Lni и Ini.

I z I = 1, argz —

следовательно,

Ln i = ^2k -j- -І— j ic i ; ln i =

i ,

Пользуясь формулой (62), докажем, что Lnz обладает теми же свойствами, что и логарифмы действительных чисел:

Ln ъ\ • z2 = Ln zi + Ln z2.

Ln z2	— Ln z, — Ln z2,
Ln z11=		n Ln z ,
Ln	z =	Ln z .

Проверим справедливость первого соотношения: Ln(z, • z2) = In I zi • z2 M - Arg (zi - z j =

— ln ( I Zi I • I z2 I ) + i (Arg zi + Arg z2) =

— ln zi + i Arg Z\| +			ln z2 -f i Arg z2 = Ln z, -f				Ln z2.
Остальные равенства проверяют аналогично.
§ 3.	Тригонометрические функции
Тригонометрические			функции , комплексною				аргумента
определяют равенствами:
sin z =	дг			cos z	eiz +	e~
		21

				giz — e-iz
tgz	=	sin z					(64)
		cosz		(eiz + e - iz) i ;
ctgz		<=	cos z	(etz +	e~iz) i	’
			sin z	eiz -	e - iz

sinz и cosz могут быть получены непосредственно из формул Эйлера. Для действительных z из этих формул получают тригонометрические функции действительного аргумента. Пусть z = x(y=0), тогда

ei z	е—iz	1
Sinz = ------	[(cosx +	i sinx) — (cosx —i sinx)] =
		== Sin X .
Аналогично можно показать, что

cos z = cos X, tg Z = tg X, ctg Z = Ctg X .

Функции (58) сохраняют большинство свойств тригономет рических функций действительного аргумента.

Докажем, что sin z и cos z имеют период 2л:

	tgz	и ctgz,
sin(z -f 2тс) = - i - [e ’<+> - e-'^+a)]					=
2i		2i	p i z		p —iz
1	g—iz—2®i\ -----------------			=	Sinz.
= ---- ( e iz+2iti _	g—iz—2®i\ -----------------			=	Sinz.
При доказательстве	мы	воспользовались		периодичностью

показательной функции elz+2lci = eiz, . Аналогично можно про

верить периодичность остальных тригонометрических функций. Нетрудно доказать, что все основные тригонометрические тож дества остаются справедливыми и для тригонометрических функций комплексного аргумента. Покажем для примера, что

sin2г -f cos2z = 1.

В самом деле,

sin2 z +	cos2 z =	I2 +	eiz -f- e~iz		2
				2

e-iz _ 2 -f e -siz		e2iz +	2 +	e - 2iz	1'
_	_	+	4	-

Для тригонометрических функций остаются справедливыми формулы приведения и формулы сложения.

Читатель без труда может самостоятельно проверить справедливость, например, таких тождеств:

cos (г +	'j =	— sin z ; cosf z ---- --- 'j = sin z
или
cos(z, ±	z2) =	cos Zi • cos z2 ±	sin z, • sin z2;
sin(z( ±	Z2) =	SinzI ••COS z2 ±	Sinz2 • C.OSZ].

В отличие от тригонометрических функций действительного

аргумента, модули функций sin z				и cos z могут быть и боль
ше 1. Например:
cos:	1	(е -1	+	е) 1,543,
sin i =	21	(е—1		1,741.

§ 4. Гиперболические функции

Гиперболические функции комплексного аргумента опре деляют следующими равенствами:

	sh z		ch z =	ez -f- e~	(65)
	sh z		ch z =	2	(65)
				2
th г	sh z	ez -j- e~	cth z =	ch z _
th г	ch z	ez -j- e~	cth z =	sh z	ez — e~
Сравнивая	(64) и (65), запишем:
		sh z =	— J sin iz;
		ch z =	cos iz ;		(66)
		th z =	— i tg iz ;
		cth z =	i ctg iz .
Из этих тождеств,		в частности, следует, что			гиперболиче

ские функции имеют ту же периодичность, что и тригономет рические того же названия.

Полагая в равенствах (66) iz = z/, получим: sin z' = i sh z, tg z' = i th z ,

cos z' = ch z , ctg z' = - j - cth z .

Отсюда вывод: любому соотношению между тригонометри ческими функциями соответствует аналогичное соотношение между гиперболическими функциями, полученное в резуль тате замены sin z и cos z на i-sinz и cos z.

П р и м е р . Известным соотношениям

cos2 z -j- sin2 z = 1 ; sin 2z = 2 sin z ■cos z ;

cos 2z — cos2 z — sin2 z

для гиперболических функций соответствуют соотношения:

ch2 z — sh2 z = 1 ;

sh 2z = 2 sh z • ch z ;

ch 2z ■= ch2 z -j- sh2 z.