Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

С

X* +

I

N

'

■

j

^ Г Т Т й х = г Л

2

Bbi ufK) .

•;

Функция f(z)

=

г8 -Д. 1

имеет в верхней

полуплоскости две

z4 + 1

особые точки

Zl = (1

+

і)

Х г ~

и Ч =

1 + 0 и удов-

2

летворяет условию теоремы 2 .

Выч f(zi)

=

— -

і

’

Выч f(z.) =

—

2 V

2

’

2 у т -

;:,

г

н

-L

J

*

+

1

1 / 2

2

о

Т е о р е м ^ /

3;

Если функция е *“2 f(z)

удовлетворяет трем

условиям: 1 )

а > 0, f(z) -> 0

при: z->-oo и при Im z^O

(z->oo, ос­

таваясь в верхней полуплоскости);

',.2 J

eJ<tz f(è)

аналитйчна на действительной оси;

3)

f(z)e,az

аналитична в верхней полуплоскости, за ис­

ключением конечного числа изолированных

особых точек ак

(к=1,

2, ... N), то

J

еіах f (x)dx =, 2 к 1

2

Выч. f (ак)е івка ■

—оо

к^І

Т е о р е м а

4.

Если функция e iaz

f(z),

с условиями 1) и 3)

“

i

7

N

Выч. .

....

1

m .

~ocJ eiaxf(x)dx =

2

ci-

II k2= l

e aökf(ak)+

~

2

~

k =2l

Uxk)

•

e Xk)

Пр и м е р .

Вычислить

oo

sin X dx

x(x* +

1)

’

Решение. -

Рассмотрим функцию -

. g(z)

=,zl

cos z

i sin z

z(z2 +

1 )

•

z(z2 -|- 1 )

Функция g(z) удовлетворяет-условиям теоремы 4,

имеет по­

люс первого порядка в верхней полуплоскости z='i и полюс

первого пор.ядка х=0

на действительной

оси,

Тогдз

exi dx-

== 2 я 1

Выч

g(i) +

- j -

Выч g (0)

х(х2 -f- 1 )

= 2 тс i

+ .

•

2кі

2 е

= и •

1 ;

i ( i - H )

'

2

>хі •

rcfe -

1 ) j _

х(х2 + 1 ) -dx

.

e

-

j

T

f

f

i

h

y

sin X

1 ) dx .

x(x2 +

-

W

Ho

н

COS X

dx = 0 .,

(X’ +

1 )

так как функция

COS X

нечетная. Следовательно,

Х(х*-+ 1)

00

sin X

іг(е—l)

IX (xJ + ,J)

dx =

sin х

,

іс(е — і)

нулей, ни особых

точек. Тогда функцию <p(z)=

называют

логарифмической

производной функции f(z),

а вычеты ф(z)

N -

т

dz,

f (z)

где

N — число нулей с учетом их кратности;

Р — число полюсов с учетом их кратности.

Т е о р е м а

Р у ш е

(без доказательства).

Если функции f(z)

и ф(г) аналитичны в замкнутой облас­

ти

D, а на

границе

области имеет

место неравенство

Д о к а з а т е л ь с т в о

Многочлен

M(z) =

ßbzn -f- atzn -'

+

..,

+ an =

f (z) *f tp(z)f

где

Тогда

f (z) = ß0zn ;

<p (z)

=

ß|Zn_l +

•.. + ß,

<p(z) _

ß)

1

1

f(z)

ß0

z

“o

zrt

При любых значениях a0, ait

... , an (a0=^0)

можно найти та-

/

ч

кое R, что для

всех j z | > R

будем

иметь 0-^ —-

< 1 . т. е.

f (z)

ІФ (z) I <j f( z) | ,

но f(z)

имеет единственный корень z = 0 крат­

ности п. По теореме Руше тогда и M(z)

имеет п корней (ну­

лей) внутри круга с радиусом,

большим R.

П р и м е р ы .

1. Найти вычеты логарифмических производ­

ных функций относительно нулей и полюсов:

a)

f(z)

Sin г

’

б)

!(z) =

sin z .

1

Р е ш е н и е

a)

f(z) =

sin z

имеет один простой полюс z = l

и бесконеч-

z — 1

ное

множество

простых

нулей

z = nk(k = 0 ; ± 1 ;

± 2 ; ±...).

Следозательио,

„

Г <2>

1-

n

<'<г>

1-

Т (ІГ - 1 • в “ ?- W

’

б)

f(z) = sinz. Полюсов нет. Нулей z = nk

(k=0; ±1; ...),

B. S

f(z)

=

1 .

t ( 0

2. Найти число нулей

(корней) уравнений в указанных об­

ластях:

а) z* — *3z3 — 1 = 0 ,

I z I

< 2 ;

б) 7z2 + 18 z -f- 10 = 0, I z I < 1 .