Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

2 .

Вычислить

Г

^zy_j_'

zs

dz’

гДе I — окружность

I

_ з)

| z | = 2 .

Р е ш е н и е

По основной теореме о вычетах

I

(Z2 + !)Z(z __"зу

dz

=

2 я і [Выч. f (i) +

Выч. f ( -

i)] ,

так как внутри контура I имеем две

изолированные

ос( бые

точки

і и —і.

Выч Ц 1) =

lim(z

-

і)

•

(Z _

z2

1){z + 1)(z- ~ 3j =

-

1

1

2i (1

-

3)

21(3

-

i)

;

Выч f ( -

i) =

-

1

21(3+1)

•

Итак,

k

dz =

2

i

1

1

l)(z -

3)

21( 3 - 1)

21(3+1)

3 +

1

-

3 + 1

1C 1

10

5

•

3.

Найти вычеты в бесконечно удаленной точке:

a)

f(z)

; +>)

f (z) =

Z'

3)

(z —2)3

(z 4- l)(z -

Р е ш е н и е

По теореме 2

Выч f (со) =

—

N—1

BbI4f(Z|{) .

2

г = — 1

k= l

У нас две особых точки:

и z = 3.

Выч f ( — 1)

1

;

Выч

f(3)

=

(см. пример

1).

10 Заказ 243

145

Цг) =

(2

+

l)(z

— 3)

4(z +

3

3)

4 z / 1 + _L

+

1) ' 4(z -

-f

4z

1

_3_

4z

z

+

4z

' + 4 + 4 - + - 1 -

_

J _

I _ L

+

.

Ci -

1

•

- ~ Г + -1 Г + 1 ?Г + - -

Следовательно,

—с( = Выч f(oo) = — 1

б) Выч f(2) =

1 "(см.

пример 1 (6).'

Следовательно, Выч f(oo)=—1.

По определению 2

i(z)V

z2

2 ) 3

1

_2_ \3

z

1 +

— +

(z -

1

z

+ 4 r

3 ___ I_

z

J(z) =

1

1

1

1

z3 + 1

1

+

Ч-

1

1

+

I____ J _

+

J L

Cl = 0,

z3

. ~6

*

: a

Следовательно,

3z

0 .

Z J +

1

1+

четах. Особые точки

zi = — 1 ;

Z2 3 =

*

— 'Y ^

;

■

2

Выч f( -

...............

1

=

1

“

1

:

D ^ lim ^ z +

l ) - ^

+ -j

^ £ 5 — 7 + ^

Т

Выч { 1

± У Л

і

)

--=

lim

1

(z -f 1 ) (z — J __ Y ? }

т + V з і

.1 : 2

1 - Ы /3 i

+

1 / 3 . 1

(3 + K 3 i ) ( K 3 i)

2

3 ((/

3 І -

l )

’

;■

Выч. f

1

-

V~3 l \

'

1

• 2

(3 — к

3 i)(— ] / 3i )

2

3 ( -

y . m

-

l)

’

3

=

1

2

-

2

== Ѳ .

У Выч. f(z)

— j------jzJ------------- — -7 =+---------

kTi

3(1/3 1 - 1 )

311/31 +

1)

I

dx

(3 + cos x)*

10*

147

cosx

=

е*1 -f е- I S

z2 4 - 1

2z

dz = leixdx =

izdx;

dx

=

dz

iz

Если изменять x от 0 до 2

п ,

то z опишет

окружность ради­

уса I.

2Я

dz

I I

dx

I г I =1I

(3 -f- cos х)2

s + J L + l W

2z

4z

dz,

I г |= 1

(z* +

6z ~f l)a

г д е ' z2+ 6z-f-l = 0,

Z| 2= —3±ув —

полосы второго

порядка

функции

4z

—

находится

> но полюс z2= —3—У8

вне круга

|z | = l,

поэтому

1

7

I =

2 « i •

—— 4 Выч.

(z2 -у 6z 4 l )2 I z = -

8 ’L-S+z a

dz

(z 4

3 +

у

a )*

_

= 8u Иш - z + 3 4- K-8 „

Z - + - 3 + Y 7

v ~ 2

iz

■

3

/ У

6

3( z +

3 +

| / 8 )3

16

*

{2У 8 Y

16

2it

Вообще интегралы вида 1= /

R(cosx, sinx)dx, где R — pa­

tz

сводятся к ин­

циональная функция аргументов cos х и sin х,

cos X = 1

Z +

1

Sin X

1

2і

ных интегралов.

Для

этого рассмотрим

без доказательства

следующие теоремы.

в

верхней

Т е о р е м а

1.

Если функция f(z) аналитична

полуплоскости

l mz>0, за исключением конечного числа из<ъ

лированных особых точек, и существуют

такие

числа

R>0,

М >0, s>0,

что для всех точек

верхней полуплоскости,

удов­

летворяющих условию

Iz[ > R,

имеет

место оценка

j f ( z) j <

lim Jf(z)dz = 0 ,

R- OO/r

где Ir — контур полуокружности

|z | = R, lmz>0 в верхней по­

луплоскости.

2.

Если

функция f(z)

удовлетворяет

трем ус­

Т е о р е м а

ловиям:

1)

f(z)

имеет точку z = oo нулем порядка не ниже вто

рого, т. е. ряд Лорана

этой функции

в окрестности

точки

z = oo

имеет вид:

f (z)

=

С*

Н—

с

-f- ...

(с2 может быть и равным нулю);

2 )

f(z) 1 аналитична іна действительной оси;

. ..

3)

f(z)

аналитична

в верхней полуплоскости,

исключая

OO

N

j"f(x)dx — 2-пгІ 2 Выч. f (ßk)

- oo

kt"l

f

f(x)dx = тс i 2 Выч. f(ak),

0

k=l

149