Файл: Попов, М. Т. Основы теории функций комплексного переменного учеб. пособие.pdf

г< ! z—a f < R r в котором функция

f(z)

единственным обра­

зом разлагается в ряд Лорана.

Ңг) =

2

cn(z

где

П — ----90

Сп == "2 теТ j (t

+ ‘

dt

(n =

0; ±

± 2 ; ± •••)■

(!71)

О п р е д е л е н и е .

Вычетом аналитической функции f(z) в

конечной изолированной особой точке г = а называется

коэф-

фициент с_і при члене ——

в разложении f(z) в ряд Лора-

на в окрестности точки г —а.

Выч.

Вычет функции f(z) в точке г —а будем обозначать:

f {а) = Res f(о). Используя

(171),

окончательно можем

запи­

сать:

Выч. f (а) =

Res {(а)

= е_г *

J f (t>dt,

I

f (z) =

S cn(z -

= c-m (z — fl)-m +

n =

— ш

+ c-m+i (z — a)-ra+t + ... + ~z~a + co + ci (Z — й) +

-

Переходя к пределу при г-*-а, получим

•с-і = Выч.Ца) = ( - 1

d"1- ’

[(z

— a)m f (z)] . (172)

Если z= a — простой полюс (ш = 1), то

Выч.

1(a) =

lim (z — a)f(z).

(173)

2—

3. Если функция f(z)

может быть представлена в виде от-

ношения

Т

f(z)

—/_Ч

причем

двух аналитических функций

=

у- ,

<р(а)^=0,

ф ( а ) = 0,

ф '( а ) ^ 0, то есть

г = а — простой

полюс,

тогда

Выч. f(a)

=

lim(z — a)f(z) =

lim

T (Z)

=

V

z - * a

z-+ a

г — а

= lim

<p(z)

ф(а)

z - * a

4Ф) — ф-(а)

'Y (о)

г — а

Выч. 1(a) =

^ в --.

(174)

ф' («)

Т е о р е м а

1 (основная теорема о вычетах).

Если функция f (z) аналитична в замкнутой области D, за

исключением

конечного числа

изолированных особых

точек

« 1, а2,

... , ÜN, лежащих внутри области D, то интеграл от f(z)

вдоль

контура / (/ — полная граница области D) в положи­

тов f(z) во всёх точках а ь а2,

.. , ал, то есть

J f(z)dz = 2 it 1

2 Выч. f («k) •

f f'(z) dz -f

2

j f (z)dz

=’

0

/ +

k =

1

l\T~

(все контуры. Ik обходятся по часовой стрелке).

Из последнего равенства

і

[ (z)dz =

2

J * (z) dz ,

1+

k = l l^ +

.

но так как

I f(z)dz =

Выч. f(ek), TO

(k+

ff(z)dz^=

2

j f (z)dz = 2 к i 2

Выч. f(ak).

(175)

/+

M=

I /k+

k = 1

Формула (175) удобна в тех случаях,

когда проще вычис­

лить вычеты функции f(z)

во всех особых

точках,

лежащих

О п р е д е л е н и е

2. Пусть функция f(z)

аналитична в не­

которой окрестности точки z = oo, исключая,

может быть, саму

точку z = oo. Тогда

вычетом функции

f(z)

в точке z = oo на­

зывается коэффициент при члене

в разложении функции

J f (z)dz =

— 2 тс ісі.

4

Следовательно,

С| = Выч. І (ос)

2 п і

f <z>dz = -

2 ТІ

f(z)dz. (176)

/+

$f (zjdz = 2тсі

N — 1

Bbi4.f(ök)

2

J+

k=l

или

2ТГ j f <z)dz

N—1

2

Bbi4.f(ak).

1+

Отсюда

/+

k=1

f f(z)dz +

2

выч. f(ak) = 0 .

Итак,

N - l

,

N - l

fk=l

Выч- f (ak) =

Выч. f(oo) -j-

k=l2

— Ci + 2

V ВычЛ(ак) =

тура /, то

I "T“

f f(z)dz =*— 2 ітіВыч. f(oo).

(177)

1+

Действительно,

— Ci = ---- I

f(z)dz = ВычЛ (oo).

/+

Отсюда и следует

j' {(z)dz =

— 2 тс і Выч. f (оо).

і+

2.

При вычислении интеграла / f(z,)dz по замкнутому кои-

туру

/+

точек,

/, внутри которого много изолированных особых

а вне лишь несколько (т )

особых точек, иногда удобно вос­

пользоваться формулой

j

Ш

(178)

f (z)dz = — 2тсі у Выч, {(ajj) —- 2тс і Выч. {{go),.

/+

kTi

а > f(z) =

■(— t t k V - з ) ;

б) Hz} -

( Т ^ 2 Г> ■

Решение: а)

для функции f(z) =

----- г—гтт------- гг - ТОЧКИ Z = — 1

(z + 1 )(z

3)

Выч. { ( - 1) =

llm (z +

z

з)

1

1) -(—+ i)(z" _

= - 4 - ;

Выч. {(3) = lim (z - 3)

(z +

г

-

3

’

1)(z _ з)

Можно также вычисление вести, используя формулу

(174):

Выч. f ( - 1) =

- ф (— 1 )

— 1

2

~

1

’

Ч>'(- Ь)

“2 '( - 1) -

4

ф (3)

_

3

3

Выч. f (3) =

f ( 3 ) _

_

2 - 3 - 2

=

—

;

Выч. {(2) =

2!

lim -3-5-

• (Z

- 2)3

Z'

(z—2)3

z -*2 dz2

—

=

1 .

z-»2