ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 64
Скачиваний: 0
1.Аппроксимация уравнений гидродинамики конечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Галеркииа).
2.Развитие и обоснование теоретических соображений Ландау (1944) (см. также Ландау и Лифшиц (1953), Мопип и Яглом (1965)
иработу Рюэля и Такенса (1971), посвященную переходу ламинар ного течения в турбулентное).
Первое направление основано на разложении решений уравне ний гидродинамики в конечные ряды по системе координатных функций и соответствует проектированию бесконечномерного фа зового пространства решений уравнений гидродинамики на конеч номерное подпространство. Далее в первой главе мы подробнее остановимся на этом методе, так как он представляется наиболее перспективным с точки зрения дальнейшего развития теории.
Второе направление связано с соображениями Ландау о раз витии турбулентности в результате роста малых возмущений. Согласно Ландау при переходе числа Рейнольдса (или какоголибо иного параметра, характеризующего течение) через крити ческое значение стационарное течение теряет устойчивость, и уста навливается новый, вообще говоря, периодический автоколебатель ный режим (вторичное течение), который, в свою очередь, устой чив только в определенном интервале значений параметра. Далее он снова теряет устойчивость и т. д. Предполагается, что по мере того как параметр увеличивается могут последовательно появ ляться новые виды возмущений и при этом будут возникать ус ловно-периодические движения со все большим числом частот. Поэтому при достаточно большом значении параметра течение будет столь сильно возбуждено, что его можно считать турбулент ным. При этом значение параметра, при котором происходит смена режимов, и характер неустойчивости можно определять, лине аризируя уравнения гидродинамики относительно соответствую щего решения. Описание гидродинамической неустойчивости в линейной постановке задачи можно найти в классических моногра фиях Линя (1955) и Чандрасекара (1961). Отметим, что последова тельная реализация общей схемы Ландау представляет в настоящее время непреодолимую задачу. Более того, даже осуществление
первого шага в схеме Ландау для простейших течений натал кивается на серьезные трудности. В связи с этим Стюартом и дру гими (см. обзорные работы Стюарта (1971а, б)) была предложена относительно простая приближенная процедура расчета вторичных течений вблизи порога потери устойчивости ламинарного течения. Однако их метод требует знания тех собственных функций (век торов), которым отвечают растущие возмущения (по линейной тео рии). Эта задача уже сама по себе достаточно сложна, и решается она главным образом путем использования метода Галеркина для выделепия^основных неустойчивых мод. Таким образом, указанные'выше два направления отнюдь не являются взаимоисключаю щими, и уже сейчас намечаются пути их синтеза.
9
В'предлагаемой читателю книге сделана попытка систематизи ровать различные подходы к разработке и анализу нелинейных моделей гидродинамических процессов, включая простейшие мо дели, допускающие непосредственное аналитическое исследование. При этом имелись в виду возможности применения предлагаемых методов анализа и конструирования нелинейных моделей к гео физическим задачам.
После первой главы, где дается краткое изложение общих прин ципов аппроксимации гидродинамических уравнений, в главе II излагается теория систем обыкновенных дифференциальных урав нений, получаемых в результате такой аппроксимации. Основным здесь является понятие «система гидродинамического типа».
В главе III дается физическая интерпретация простейшей си стемы гидродинамического типа на примере задачи о движении жидкости в трехосном эллипсоиде. Основные вопросы, такие, как устойчивость движения и стационарные режимы, исследовались не только теоретически, но и экспериментально на лабораторной
установке в Институте |
физики |
атмосферы А Н |
СССР. |
В главе IV общие методы анализа систем гидродинамического |
|||
типа применяются к |
вопросу |
о нелинейных |
взаимодействиях |
в задаче о конвекции/ С помощью достаточно простой модели уда ется выяснить специфику нелинейных процессов в явлениях кон векции, представляющих большой иптерес для геофизических приложений. Это относится, в частности, к одновременному учету нелинейных свойств системы и влияния силы Кориолиса.
С помощью простейших трехмодовых систем (триплетов) ока зывается возможным строить более сложные системы с большим числом степеней свободы. Такой метод применяется в главе V для моделирования каскадного процесса преобразования энергии в турбулентном потоке. С помощью моделей, имеющих вид нелиней ных цепочек, удается получить известные законы распределения энергии в спектре турбулентного потока.
В главе V I показано, каким способом сформулированные ра |
|
нее методы могут быть применены к изучению взаимодействия ко |
|
лебаний (волн), |
например, воли Россби—Блиновой. При этом |
оказывается полезным обобщение построенных систем гидроди |
|
намического типа |
на случай комплексных координат в фазовом |
пространстве системы. Глава V II носит более математический ха рактер и посвящена разработке вопросов, относящихся к струк туре простейших систем гидродинамического типа.
Последняя V III глава посвящена краткому изложению не которых вопросов, связанных со статистическим описанием про цессов в нелинейных системах, моделирующих гидродинамические явления. Эта глава носит как бы «заявочный» характер, поскольку сама тема является очень широкой и выходит за рамки монографии. Глава полезна для ознакомления читателя с общей постановкой про блемы. Материал, предъявляющий несколько повышенные требова ния к математической подготовке читателя, выделен в приложениях.
Глава I
КОНЕЧНОМЕРНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ
§ 1. Аппроксимация уравнений гидродинамики по методу Галеркина
Метод Галеркина, а точнее метод Бубнова—Галеркина является одним из наиболее универсальных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений, обыкновенных или в частных производных, линейных или нелинейных. Впервые этот метод был применен в 1913 г. для решения задач теории упругости И. Г. Бубновым (Бубнов, 1913), а в более общей форме в 1915 г. Б. Г. Галѳркиным (Галеркин, 1915). Изложение указанного ме тода приводится во многих руководствах по приближенным ме тодам вычислений (см., например, монографии Михлина (1957, 1966), Красносельского, Вайпикко и др. (1969)). Сущность метода
заключается в следующем. |
и (Р), |
|
||||
Пусть |
неизвестная |
функция |
заданная в некоторой об |
|||
ласти |
V |
координат |
Р , |
удовлетворяет |
неоднородному оператор |
|
ному уравнению |
|
Ьи = Ц Р ) |
(1.1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
и некоторым однородным линейным краевым условиям. Оператор L будем считать пока линейным оператором. Далее, пусть имеется полная система координатных функций <рх (Р),. . ., ц>в (Р),. . .
(так называемая координатная последовательность), которые нужное число раз (в соответствии с требованиями задачи) диффе ренцируемы и которые удовлетворяют всем краевым условиям нашей задачи. Ввиду того, что Lu — / есть нулевой элемент про странства, он ортогонален ко всем срл, т. е.
(Lu — f, <р,.) = 0, |
к = 1, со, |
(1.2) |
где (а, Ъ) — соответствующим образом введенное скалярное про изведение *. Метод Галеркина состоит в том, что приближенное
*В задачах гидродинамики скалярное произведение полей естественно определять, используя соответствующее выражение для кинетической энергии.
И
решение уравнения (1. 1) ищется в виде линейной комбинации координатных функций
Д-3)
1
с неопределенными коэффициентами ак, которые затем определя ются из условий ортогональности невязки Lun—/ первым п эле ментам координатной последовательности
|
|
|
(Llln — f |
. tPfc)=°. |
|
k = |
i, |
|
п. |
|
(1.4) |
|||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
||||||
Эти условия приводят к следующей11 |
системе |
|
линейных уравнений |
|||||||||||
относительно коэффициентов |
а!;: |
|
|
i = |
|
1, |
|
|
(1. 5) |
|||||
|
|
|
(/Іа) = 2 А Jkak = f j, |
|
п. |
|
||||||||
Здесь |
А |
— матрица с элементами |
A jlc= (L'f |
k, tpy), |
а = (а 1, |
а2,. .. , |
а„), |
|||||||
а /. = (/, |
'fj). |
В силу линейности |
краевых |
з'словий |
функция |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
(1. 3) им, очевидно, удовлетворяет. Таким образом, метод Галеркииа сводит неоднородную краевую задачу (1. 1) к неоднородной системе линейных уравнений (1. 5), решение которой определяет коэффициенты линейной комбинации (1. 3). В сущности он эк вивалентен одному из проекционных методов приближенного ре шения операторного уравнения (1. 1) (см., иапример, монографию Красносельского, Вайникко и др. (1969)). В том случае, если
L (и) — нелинейный оператор, указанная выше процедура также может быть выполнена, но в левой части (1. 5) мы будем иметь век тор, зависящий от коэффициентов разложения аг, а21. . ., ап уже нелинейным образом. Следует отметить, что первоначально в ка честве условия применимости метода Бубнов сформулировал тре бование ортогоиальпости координатных функций, которое на са мом деле необязательно, однако, приводит к значительному со кращению выкладок.
Аналогичным образом решается задача и о нахождении соб ственных значений для уравнения L u = \ u .
Метод Галеркина уже давно широко применяется для практи ческого решения самых разнообразных прикладных задач, в том числе весьма успешно и к решению нелинейных задач, хотя обоснование его оказывается сравнительно трудным. Поскольку вопросам, связанным с обоснованием указанного метода, посвя щена обширная математическая литература, мы не будем под робно останавливаться на них.
Вследствие того, что метод Галеркина достаточно универсален и эффективен, он занимает весьма важное место среди других прямых методов, используемых в гидродинамике. В качестве при мера рассмотрим следующую краевую задачу с начальными зна чениями для уравнений Навье—Стокса, описывающих движение несжимаемой жидкости в ограниченной области V пространства:
12
^г + £(ѵ) = ^ |
+ (ѵ •V) V — ѵДѵ = — у V/j + f, |
(1. 6) |
||
v|s = |
°, |
div V = |
О, |
(1.7) |
ѵ(х, |
0) = а(х). |
|||
Здесь V (х) — поле скорости, ѵ — кинематическая вязкость, f — массовая сила, давление р определяется, как обычно, из условия несжимаемости, на границе S области V поставлены условия прилипания.
Решение этой задачи ищется в соответствующем пространстве векторных функций и(х) — {и1 (х), щ (х), и3 (х)}, x ^ F , квадра тично интегрируемых по области V, причем скалярное произве дение в этом функциональном пространстве определяется равен ством
(и; v) = j (u- v)d3x. |
(1.8) |
к |
|
Здесь интеграл распространяется по всей области F, занятой жидкостью, а точка означает обычное скалярное произведение двух векторов.
Спомощью метода Галеркииа решение задачи (1. 6) сводится
крешению конечной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений. Для этого, следуя Ладыженской (1970) и Брушлинской (1964), будем искать приближенное решение задачи (1. 6) в виде
ѵ„ ( х ,< ) = 2 г 4 ( 0 і ( х ) , |
(1.9) |
;.'=і |
|
причем в качестве координатной последовательности (фй (х)} берется полная в V система ортонормированных собственных век торных функций следующей линейной задачи:
ѵАфл = |
— |
(1-1°) |
div ф*. = |
0, ф*|а = 0 |
(1.10a) |
и, кроме того, |
$ф|<і3х = 1 . |
(1.11) |
|
V |
|
Свойства оператора, соответствующего этой задаче, описаны в мо нографии Ладыженской (1970), обозначениями которой мы и поль зуемся.
Подставляя (1. 9) в (1. 6) и умножая обе части получающегося равенства скалярно на фет, получим
dzh |
2 * i |
(t) |
фг (x) |
ф*(х))й3 |
( Ь ф й)<гзх, |
( 1. 12) |
dt |
||||||
|
г=і |
|
|
|
|
|
к = 1, п.
13