ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 63
Скачиваний: 0
Здесь член, отвечающий силам давления, опускается в силу того, что из (1. 10а) следует, что
5 |
(ѴР • Ф*) d3x = |
|
|
>k)dS |
= |
0, |
|
|
(1.13) |
||
|
|
фр (п . <J |
|
|
|
||||||
V |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
где п означает единичный вектор нормали к поверхности S . |
|||||||||||
Легко убедиться, что соотношения (1. |
12) |
эквивалентны сле |
|||||||||
дующей галеркинской системе |
п |
обыкновенных дифференциальных |
|||||||||
уравнений: |
/> ти]-1 |
тм,„2,2т |
|
|
|
к = |
_____ |
|
|||
2* = |
— 2 |
— ѵіѵ * + /*> |
|
|
1, |
п> |
С114) |
||||
где |
|
\ |
|
|
|
d?x, |
|
|
|
(1.15) |
|
|
Ты» = к (Ф* * (Фі • ѵ) Ф») |
|
|
|
|
|
|||||
а свободные члены в (1. 14) суть коэффициенты Фурье массовых сил
/ * = S ( b « M d 3* (1.16)
Y
(точка, стоящая над символом z, означает дифференцирование по
времени). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zk |
t) |
Таким образом, искомые амплитудные функции |
|
( находятся |
||||||||||||
из уравнений (1. |
14) |
и начальных условий |
|
|
|
|
||||||||
где 4?) в силу |
(1. |
|
z*Lo = |
4 0)> Ä = |
l. и. |
|
|
|
(1-1?) |
|||||
11) |
|
|
|
(x))\â?x, |
к |
= |
1, |
п. |
|
(1.18) |
||||
Коэффициенты |
4 0) = |
J (а (ж) • фй |
|
|
|
|
|
|||||||
f klm |
удовлетворяют |
соотношению |
|
(1.19) |
||||||||||
|
|
|
2 |
т=1 |
Т |
|
|
= |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
lelmZkZlZm |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Je, I,М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое выражает, очевидно, закон сохранения кинетической энергии жидкости при отсутствии массовых сил (f=0) и вязкости (ѵ=0), поскольку в этом случае, ввиду ортогональности ф& и (1.11),
из (1. 14) получим |
( 1. 20) |
|
П |
V |
к=1 |
Метод Галеркина широко применяется в прикладных задачах гидродинамики. Он оказывается весьма полезным при исследова нии устойчивости различных гидродинамических течении (см., на пример, работы Ди Прима (1955), Брушлинской (1965) и (1968),
14
Стюарта (1960), Уотсона (1960), Кувабара (1966), Бириха (1965), Пекериса и Школлера (1967) и (1969), Доуэлла (1969), Джорджа и Хелламса (1972)) и, в частности, при исследовании устойчивости конвективных течений (Гершуни и Жуховицкий (1972)). Приве
денный перечень работ, конечно, |
не является полным. |
!,• |
В следующем параграфе мы |
рассмотрим один характерный |
|
пример эффективного применения метода Галеркина к свободному движению идеальной жидкости, заключенной в эллипсоидальную полость. Этот вид течения имеет большое значение, так как в ряде
частных случаев |
он поддается точному теоретическому анализу |
и в то же время |
сохраняет все те характерные особенности, ко |
торые присущи многим реальным течениям в силу нелинейности уравнений гидродинамики. В третьем параграфе мы рассмотрим применение метода Галеркина уже к неидеальной жидкости, на примере задачи о плоском движении вязкой жидкости под дейст вием периодической силы.
§ 2. Жидкий гироскоп как иллюстрация применения метода Галеркина
к исследованию движения идеальной несжимаемой жидкости
Рассмотрим задачу о вихревом свободном движении идеальной несжимаемой жидкости, ограниченной поверхностью/эллипсоида, уравнение которого имеет вид
( 1. 21)
Эта задача является в известном смысле классической и рассматри валась в трудах Гринхилла (1879), Хафа (1895) и Пуанкаре (1910), а также Жуковского (1885).
Для решения задачи естественно использовать известное урав нение Гельмгольца (см., например, книгу Кочина, Кибеля и Розе
(1963)) |
^ = ^ |
+ |
( v V ) Q = |
(Q .V )v , Ö = rotv, |
(1.22) |
||
принимая во внимание |
уравнение |
неразрывности |
(1.23) |
||||
и граничное |
условие |
|
div V = |
0 |
5 = 0 |
||
на поверхности- |
(1.24) |
||||||
|
|
|
= (V |
П) U = |
о, |
(1.24а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
Здесь п означает единичный вектор нормали к поверхности. Существует частный вид движения жидкости, в котором уравне ния Гельмгольца (1. 22) допускают точное решение, а именно од нородное вихревое движение жидкости, при котором вектор Q = =rot V остается постоянным в каждый момент времени и одинаковым для всех частиц жидкости. Далее будет показано, что имеются три линейно независимые поля скорости, каждое из которых описывает стационарное однородное «эллиптическое» вращение жидкости вокруг какой-либо из трех главных осей эллипсоида. Эти стацио нарные бездивергентные векторные поля скорости, которые, оче видно, линейно зависят от координат, представляют точные ре шения уравнения Гельмгольца (1. 22) и удовлетворяют граничному условию (1. 24), т. е. являются касательными к границе области. С помощью таких полей, которые мы будем далее называть опор ными, может быть описан и более общий класс движений жидкости в эллипсоидальной полости, при которых скорости частиц жид кости зависят от времени, но по-прежнему являются линейными функциями их координат. Для этого полезно воспользоваться методом Галеркина, причем в качестве координатных функций ис пользовать указанные опорные поля.
Уравнения движения несжимаемой жидкости в эллипсоидаль ной полости для случая, когда скорости являются линейными функциями координат, можно найти, например, в монографиях Ламба (1947) или Моисеева и Румянцева (1965), где показывается, что указанные уравнения по своей форме полностью эквивалентны уравнениям Эйлера для свободного движения твердого тела, имеющего неподвижную точку (гироскопа). Мы воспроизводим этот вывод в удобных для нас обозначениях.
В качестве опорных (координатных) полей выберем три бездивергентных поля, линейные по координатам и удовлетворяющие
граничному условию (\v.*V) |
S |
= 0 на поверхностях £=const |
|
|
|
||
W l = — - Z ] + y ! / k , |
Д-25) |
||
w2 = |
— |
||
w3 = |
- y i / i + T ®]. |
|
|
Эти поля ортогональны в том смысле, что J лѵ. • wfcd3x = 0 при
У
і=^=к. Поля скоростей представим в форме
V (г, і) = Ші (it) \ѵ3 (г) + Ш2 (it) w2 (г) + С03 (г) ѵѵ3 (г). |
(1. 26) |
Величины шх, со2, и ш3 называются параметрами Пуанкаре. Эти па раметры просто связаны с соответствующими компонентами
16.
вихря Q = ro t V; Вычисляя компоненты вихря, получаем
0 1 |
= |
діо |
до |
Ь2 + С2 |
|
|
||
dy |
dz " |
Ьс |
|
Ші’ |
(1.27) |
|||
о |
|
_ |
ди |
dw |
с2 + |
а2 |
Ші) • |
|
|
дѵ |
ди |
а2 + |
Ь2 |
||||
о |
|
_ |
||||||
*2 |
|
dz |
дх |
са |
|
2’ |
|
|
“ |
3 |
|
дх |
ду |
ab |
|
Шз’ |
|
Пользуясь уравнениями движения задачи, легко проверить, что каждое опорное поле wx, w2 или w3 определяет одно из трех стационарных решений задачи:
(üiWj, ш2лѵ2, и>3лѵ3, |
(1.28) |
которые получаются из (1. 26) как частные случаи при
ш2 = ш3 = 0, (о1 = const, cDj = со3 = 0, со2 = const и = 0)2 = 0, ш3 = const.
Из доказанного следует, что идеальная несжимаемая жидкость, заключенная в эллипсоидальную полость, может совершать сво бодное стационарное однородное вращение вокруг любой из глав ных осей эллипсоида, т. е. такое движение, при котором ротор ско рости не зависит от времени, остается постоянным в пространстве
инаправлен вдоль какой-либо из главных осей эллипсоида.
Вобщем случае поле скорости v(x, t), представленное равен ством (1. 26), является нестационарным. Динамические уравне ния для параметров и>ѵ ш2 и ш3 получаются в результате под
становки представления (1. 26) в уравнение Гельмгольца (1. 22), которое в данном случае имеет следующий вид:
Q = (Q • V) V . |
(1.29) |
Записывая уравнение (1. 29) в проекциях на ось х, получим
Ö1= ( Q .V ) b, |
(1,30) |
где йц й 2 и Q3 определяются формулами (1. 27), а компонента скорости и задается следующим выражением:
з
“ = 2 m*(w* ‘ i) = T ,02z — Т шз^ |
С131) |
к= 1 |
|
Подставляя в (1.30) Q x, й 2, й 3 и и, получим
(Ь2+С2) . |
|
|
+ Ь2) _Ч (сз + д2) |
. пуСлѵчяг.я |
.32) |
||||
|
(а2 |
|
|
|
-------“ “ |
||||
------'------ о), г |
ьег' |
|
|
'J.' с ~■ ал |
|
||||
Ъс |
1 |
|
Гос |
|
|
||||
2 Нелинейные системы |
|
|
1 I'^ |
|
17 |
||||
|
|
|
|
биолксл с. |
М |
'.J-. |
г |
|
|
|
|
|
|
d u *: |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Умножая обе части получившегося соотношения (1. 32) на Ъс и вводя новые обозначения
h = V + с2
7, = |
с2 + |
а2, |
(1.33) |
/З = |
а2 + |
Ь2, |
|
мы придем к динамическому уравнению для <%, из которого осталь ные уравнения для ш2 и ш3 получаются циклической перестановкой индексов (12 3). Окончательно будем иметь следующую дина мическую систему уравнений:
/іШі = |
(/3 — /2)о)2т3, |
(1.34) |
/2ш2 = |
(/1— /3)й)3ші, |
|
/3ш3 = |
(/, — /jH ^ , |
|
которую также можно записать более компактно в векторном виде
Здесь |
«*>= |
М = |
м X Мш.3к , |
|
(1.35) |
||||
|
|
|
шіі + |
“ аЗ + |
|
|
|
(1 |
36) |
вектор М имеет компоненты |
(і, к = |
1, 2, 3). |
(1.37) |
||||||
І . к |
М . = |
І і Л |
|
|
|
||||
|
— диагональная матрица, элементы которой равны |
(1.37а) |
|||||||
|
7ц = |
|
-^22 = |
^2> |
|
-^33 ~ |
/3> |
||
а /х, /2 и /3 определяются формулами (1. 33). |
^2 И |
COjj |
|||||||
|
Таким образом, формулы (1. |
26) |
и (1. |
25), где |
|||||
находятся путем решения уравнений движения (1.34), имеющих точно такой же вид, как и уравнения движения обычного механи ческого гироскопа (уравнения Эйлера), дают точное решение за дачи о свободном нестационарном движении идеальной жидкости внутри эллипсоидальной полости, характеризующимся линейным полем скорости. Поэтому естественно назвать эту систему «гидро динамическим гироскопом».
Известно, что уравнения (1. 34) допускают аналитические решения, выражающиеся через эллиптические функции (см., на пример, книгу Ландау и Лифшица (1958)).
Остановимся кратко на тех выводах, касающихся общего ха рактера движений изучаемой динамической системы, которые могут быть получены путем анализа интегралов движения. Легко убедиться в том, что система (1. 34) обладает двумя квадратичными
интегралами движения: |
Е = О, |
(1.38) |
|
£ = |
|(/ро2 + /2ш* + /3<»і), |
(1.39) |
|
7 = |
7jU)f + 72u)2 + /Зш2, |
7 = 0 , |
|
18