Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

Итак, оказывается, что не только степенями можно описывать функции, совершенно непохожие на поли­ номы, но и «бесконечной суммой» синусов кратных дуг (разумеется, если эти синусы берутся с нужными коэф­ фициентами) можно совершенно точно описать линей­ ную функцию, которая на первый взгляд не имеет с тригонометрическими функциями ничего общего.

Формула (1.22) получена нами для любого / œ [О, я). Из нечетности функций, стоящих в обеих ее частях, следует, что она верна и при tŒ(—я, 0], т. е. для любого t е= (— я, я).

Заметим, что при t = ±n все проведенные рассуж­ дения перестают быть справедливыми. Более того, сама окончательная формула (1.22) становится при этом неверной; действительно, при / = ± я все синусы в (1.22) обращаются в нуль, тогда как справа оказыва­ ется отличное от нуля число

Обратим, однако, внимание на то обстоятельство, что при ^ = ± я левая часть (1.22) равна полусумме значений, которые правая часть принимает при t = n

иt = — я .

-Как мы увидим далее (в главе 9), все перечислен­ ные в этом параграфе факты являются проявлениями весьма общей закономерности.

*

В сущности, в этой главе мы, работая с прогрес­ сиями, познакомились в общих чертах со всеми основ­ ными идеями курса теории рядов. Все дальнейшее будет лишь обобщением, уточнением и разработкой уже сказанного.

ражение этой функции часто называют «общим» членом ряда. Например, «общим» членом геометрической про­ грессии a, aq, aq'1, ... является aq"-'1.

Само по себе выражение (2.2) никакого определенного смысла не имеет, потому что действие сложения в своем непосредственном содержании имеет дело каждый раз лишь с конечным числом слагаемых. Этот смысл выра­ жению (2.2) предстоит приписать нам самим. Очевидно, это следует сделать так, чтобы «бесконечная сумма» (2.2),

анализа те или иные реальные факты и помогала бы ре­ шать задачи. Из последней фразы видно, что в определе­ нии смысла выражения (2.2) содержится некоторый про­ извол: мы можем по-разному понимать сумму (2.2). Фор­ мулировки различных таких пониманий, и сопоставления их друг с другом представляют большой интерес, как те­ оретический, так и практический. Мы, однако, в настоя-

26 ГЛ. 2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ понятия

щем курсе ограничимся рассмотрением только одной та­ кой формулировки, пожалуй, наиболее естественной.

не имеет (в частности, если члены последовательности

новлении сходимости или расходимости тех или иных ря­ дов и в вычислении сумм сходящихся рядов.

В принципе можно доказывать сходимость или расхо- , димость каждого ряда, а также вычислять сумму сходя­ щегося ряда, опираясь непосредственно на определения сходимости и суммы. Именно, в каждом случае можно попытаться составить аналитическое выражение для п-й частичной суммы ряда и найти предел этого выражения

Сделаем, однако, два замечания:

Во-первых, только что описанный «естественный» путь часто оказывается весьма неудобным из-за трудности яв­ ного вычисления частичных сумм ряда и нахождения пре­ дела их последовательности.

Во-вторых, нередко при исследовании рядов значения частичных сумм не представляют интереса и после реше­ ния задачи превращаются в «отходы производства». Более того, иногда не нужна даже сумма ряда, а все исследо­ вания ведутся лишь ради установления самого факта сходимости или расходимости ряда.

Ввиду сказанного представляют интерес методы ана­ лиза рядов, приводящие к их суммам непосредственно, минуя вычисление частичных сумм. Точно так же оказы-

28 ГЛ. 2. ЧИСЛОВЫЕ Р Я Д Ы . О С Н О В Н Ы Е ПОНЯТИЯ

ваются полезными приемы, позволяющие констатировать сходимость ряда без нахождения его суммы.

Например, если все члены ряда

«і + и2 + . .. + «„ + .. .

сходимости ряда, необходимо и достаточно, чтобы все частичные суммы были ограничены в совокупности, т. е. чтобы нашлось такое число M, что s„ < 7 И при любом п.

Приемам и методам такого рода посвящена значитель­

Предел слева есть сумма s исходного ряда, а предел спра­ ва — сумма гп его л-го остатка. Ясно, что из существова­ ния предела в левой части равенства следует существова­ ние другого предела в правой его части и наоборот. По­ этому если сходится один из остатков ряда, то сходится и сам ряд. Точно так же из сходимости ряда следует сходимость каждого его остатка.