Файл: Воробьев, Н. Н. Теория рядов учеб. пособие.pdf

суммы остатка. Поэтому чем меньше сумма остатка

Так как это равенство справедливо для любого га, мы

Но для сходящегося ряда

Hms„ = s,

п - юо

откуда следует, что

lim г„ = 0.

п-»оо

§4. Принцип сходимости Коши

Напомним одну важную, но довольно деликатную теорему из теории пределов, называемую принципом

тельность (2.5) имеет конечный предел s. Это, в част­ ности, означает, что для любого е > 0 найдется такое п\

и при любом большем номере, чем п, т. е. при любом номере вида п-\-т, это неравенство также будет иметь место:

т. е. требуемое неравенство (2.6).

Д о с т а т о ч н о с т ь оказывается фактом, существенно более сложным (доказательство проводится здесь для слу­ чая вещественной последовательности; доказательство в комплексном случае отличается лишь малосуществен­ ными деталями).

Пусть по любому ,е>-0 найдется такое я, что для всех m выполняется неравенство (2.6). Это значит, что все члены последовательности (2.5), за исключением,

Значит, последовательность (2.5) оказывается ограни­ ченной. Поэтому в ней найдется подпоследовательность, сходящаяся к некоторому пределу s.

В целях полноты изложения приведем доказательство этого факта.

Обозначим сегмент (2.9) через [А0, В0]. Он содержит беско­ нечно много членов последовательности (2.5). Разобьем этот сег­ мент на две половины:

[ л 0 , 1 ( Л + 50 )] и [ у ( Л 0 + Я0 ), Я 0 ] ,

выберем ту из них, в которой окажется бесконечно много членов последовательности (2.5), обозначим ее через [Alt и снова раз­ делим пополам. Будем продолжать такой процесс деления отрезка пополам и выбора половины, содержащей бесконечноечисло членов последовательности (2.5), неопределенно долго.

В результате мы получим бесконечную последовательность вло­ женных друг в друга сегментов

Каждый из этих сегментов содержит бесконечно много членов по­ следовательности (2.5). Поэтому из каждого сегмента [Лд., В^] можно выбрать член последовательности s„A так, чтобы все выби­ раемые члены были различными.

Очевидно,

Л ^ Л і ^ - - < В 0 - Значит, последовательность чисел

Ло, Ai, А%...

монотонно неубывающая и ограничена сверху. Поэтому она имеет предел lim Ak. По аналогичным причинам существует предел

lim ßft. Далее, очевидно,

Ak^Snk^Bk.

При неограниченном возрастании k крайние члены этого неравен­

ства стремятся к общему пределу s. Следовательно, lim s„. также существует и равен s

Допустим теперь, что в последовательности (2.5) найдутся две подпоследовательности,

Sn'i' ^п'а''">

сходящиеся к различным пределам s' и s". Возьмем

8 < 1 | S ' - S " |

и найдем на основании условия теоремы такое п, что при всех m

32 ГЛ. 2. Ч И СЛОВЫЕ РЯДЫ . О С Н О В Н Ы Е ПОНЯТИЯ

Кроме того, найдем на основании определения пре­ дела такие n'k- и пЪ"> что при любом п\ > riw

Il d — s„-k I I < e,

а при любом ni > til"

s — s „ » | < s .

Эти неравенства справедливы при всех достаточно боль­ ших номерах п'к и п%. Поэтому среди этих номеров най­ дутся и такие, которые более, чем п. Возьмем п'к = п +

- f ni и пІ — п-\-т". Мы имеем

I S/1 + m' — S„ j <C B,

|s„+ m » — s „ | < e .

сходился, необходимо и достаточно, чтобы последова­ тельность его частичных сумм

Sli І2> • • • > S„, . ..