Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 100
Скачиваний: 0
Имеем поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 я ) |
3 |
F(p)dp |
|
|
||
|
Т |
£ |
|
^ |
|
F(p)dp + |
|
|
Sr, |
(2я)3 |
|
||||
|
Р е |
|
|
|
|
||
+ т |
£ |
|
|
( р )I z1 7 |
|
+ |
F (J p ) [ d PI ^ |
^ |
- v |
£ |
|
|
~Sr*+E |
||
|
|
|
|
|
|
< е/2 + е/4 + е/4 < е |
|
для любого |
И > И 0, |
что |
и устанавливает справедли |
||||
вость (3.47). |
После этих тривиальных |
замечаний обра |
|||||
тимся к выражению |
(3.45). |
Из |
(3.42) |
и условий (3.37), |
|||
наложенных выше на функции, |
ясно, |
что |
|||||
|
|
| Q (р, а) | ^ |
Q0 = |
const, |
|
||
-рг V | Q (Р) а) |2 < Qj = const.
р
Видим также, что точки разрыва функции Q (р, сг), а следовательно, и функции
Е (р, а) —
£ r - ^ - V ( £ - - ^ ) 2 + i Q(P’ ct) M i£ - b)
образуют множество меры нуль в пространстве |
Е. Да |
||
лее, для р2^ 4 т р имеем |
|
|
|
Р2 |
р 2 |
|
|
О < Д ( р , 0 ) - ^ - ц ) < |
| Q (р, а) | 2 _ _ 2 от |
Q(P, |
<г)Р, |
4т
откуда
~V {Е(р. «т) — 2т
Р6Е £ - S r
р2^ 4 я г ц .
Таким образом, учитывая только что сделанные заме чания, видим, что
( 2 л ) 3 { Е (Р’ ^ - { - t i ~ v ) } dP-
из
Имеем далее
In {1 + е~Е {Р' ®>'0} < е~Е (р’а)'° ^ const • е~^12тд.
Поскольку эта функция достаточно быстро убывает при р->оо, а точки ее разрыва образуют множество меры нуль, получим также
1.V in{1+ (р.0 /0}_>_1_ J In{1+ е ~ Е <Р.°>'0}й р ,
р
Тем самым мы и убеждаемся в справедливости свой ства (3.40), причем здесь
f00{H(C)} = 2 y 4gaCaCa~
а
о
|
<7 |
или более сокращенно |
|
L W (С)) = 2 % §аСаСа - |
J {Е (/) - Т(/=)} df - |
а |
|
“ W |
J In{l+e_E(f,/e}^ - (3-48) |
Здесь интегрирование | ( . . .)df подразумевает операцию
о
Итак, в рассматриваемом случае при выполнении условий (3.37а), (3.38) условия теоремы 3.2 удовлетво ряются.
Как уже отмечалось выше, при доказательстве этой теоремы, сходимость
M tf(C )} -U tf(C )} -> 0 |
(3-49) |
V —>■оо |
|
является равномерной на любом ограниченном мно жестве точек С.
И?
§ 4. О равномерной сходимости функции свободная энергия по 0 и об оценках величин
Покажем, что в данном случае сходимость (3.49) является равномерной также и по 9 в интервале ( О < 0 < 0О), где 0О— любая фиксированная температура. Как видно, такое свойство будет установлено, как только мы покажем, что
66'(fv {Н (С)} - {Я (С)}) < X = const (0 < 0 < 0О), (3.50)
чем сейчас и займемся. Имеем
66 fv {H(C)}- |
|
|
|
|
|
V M ) ,~E(f)/0 |
|
|
V ln { l |
+ e-B(f)/e}_ |
1 |
||
|
V |
f |
|
|
BV |
y i 1+ e~E (f)/9 * |
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•у е~Е12в ^ |
■— |
(а |
также Ее~Е1в^ |
е~^,2е), |
||
можем написать |
|
|
|
|
|
|
60 f v { H ( C ) } |
< 1 |
V |
е - Е |
(f)/20 4_ A JL V |
Р - Е (f)'20<- |
|
^ V j U e |
^ е V 2 л е |
^ |
||||
|
|
|
|
(f) |
|
|
Совершенно |
аналогично, |
найдем |
|
|
||
U H ( C ) ) |« ( i
ипотому
^( f A H( C ) } - UH( C ) } )
1У
<1 + е / П Л
+ t ) i s f l ‘ - E m d>’
е -Е(П12в„ I------------! _ , р - ■Е (f)/20„ df
^ (2л)31е
Ввиду быстрого убывания е-£(б/2е» при J р | —> оо ин теграл
J e-B(f>/2М /
114
имеет конечное значение и
- я п т df.
f
Таким образом, неравенство (3.50) установлено и тем самым доказана равномерность сходимости (3.49) по 0 в интервале (0 < 0 ^ 0О). Поэтому в рассматриваемом случае в теореме 3.2 соотношение
67 ->0
У“»оо
имеет место равномерно по 0 в этом интервале. Таким образом, положив
е (-р-) + <V — V,
можем сформулировать пункт 2) данной теоремы в виде
|
I U Ш( С ) } - ПН ) |
|< б „ |
|
||
dv ->Q |
равномерно |
по 0 |
в интервале |
(3.51) |
|
V -»°о |
|
|
|
( О < 0 < 0 о). |
|
|
|
|
|
|
|
Как уже |
упоминалось, |
для |
|
е(1/К) было |
получено |
в нашей работе [30J явное выражение. Нетрудно было бы
получить также явное выражение для оценки |
раз |
ности |
|
fv { H( C ) } - f x {H(C)l |
(3.52) |
если наложить на Xa(f) надлежащие условия гладкости и убывания при |р |-» о о . В самом деле, (3.52), как мы видели, является разностью между суммой Римана и соответствующим интегралом, так что можем здесь вос пользоваться хорошо известными приемами теории при ближенного вычисления трехмерных интегралов.
Таким образом, можно показать, например, что если функции Ха точки (р) везде (за возможным исключе
нием |
некоторых достаточно гладких |
поверхностей |
раз |
||
рыва) |
непрерывны и дифференцируемы, а при р->°о |
||||
|
^ |
к нулю |
вместе с |
дХа |
т0 |
достаточно быстро стремятся |
|
||||
|
6К< c o n s t |
c o n s t |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
115
В случае же, когда Ха везде непрерывны и обладают производными второго порядка по (р), а при р->оо достаточно быстро стремятся к нулю вместе со своими производными до 2-го порядка включительно, то молено получить и более сильную оценку
c o n s t
у2/'Л
§ 5. Свойства частных производных от функции свободная энергия и теорема 3.3
Займемся |
сейчас |
вопросом |
о частных |
производных |
|||
по переменным |
Си . . . , Cs, Си . . . , Cs функции |
||||||
U tf(C )} = 2 |
^ |
aCaCa - |
|
|
|
||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
2^ 3- J |
{£ (f) - |
T (/) + 20 In (I + e - w* |
°)} df. (3.53) |
|||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
U = |
{E (/) - T ( f ) + 26 In (1 + |
|
e-fi (fl/в)} - |
|
|||
|
|
= |
/1 |
2 |
) |
dE (f) _ |
|
|
|
|
l |
1 + e£(f)/e |
J |
dC a |
|
Но благодаря (3.38) и неравенству |
|
0 < |
1 |
видим, что U является |
ограниченной функцией (р) в Е: |
1 ^ 1 < | S ffp lC p |Q2g„.
р
Ясно также, что U является непрерывной и дифферен цируемой функцией С во всем пространстве точек (С). С другой стороны, поскольку
I t h x K l ,
116
имеем также
2
£4?) 2 & g s lC e IU f ( /) i„ ( 0 1 <
С1
|
(3 |
|
Отсюда нетрудно заметить, что U (р) является абсо |
||
лютно интегрируемой в Е и |
J \ U \ d p ^ |
|
| и dp — | U dp = |
J U dp |
|
S r |
E - S r |
E - S r |
< 4in S £a£p! Cp | / JIЯр |
(/) prfp • J | Яй(/) f rfp |
|
для r2^ 4mp.
Следовательно,
j U dP - j+ z * J u dP
s r
равномерно по отношению к С на любом ограниченном
множестве точек |
С. |
|
|
|
|
Таким образом, выражение (3.53) можно дифферен |
|||||
цировать по Са (или С*) под знаком |
интеграла и соот |
||||
ветствующие производные |
|
|
|
||
dfcoWiC)) |
|
|
|
|
|
дСа |
|
th E(f) |
|
|
|
|
£а |
|
|
|
|
= 2gaCa ~ |
29 |
|
(f)]k(f) df, |
||
(2пу I |
E(f) |
|
|||
d U {Н ( С ) } |
|
|
Р |
|
(3.54) |
|
|
|
|
|
|
дСР |
|
|
th E(f) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2gaCa - |
|
20 |
S g PW / ) U « ( f ) df |
|
(2я )3 |
E(f) |
||||
|
|
|
|
p |
J |
будут непрерывными функциями С во всем простран стве точек С.
Нетрудно заметить, что аналогичное рассмотрение
справедливо для |
частных производных f (Я(С)} по пе- |
|
ременным Си |
* |
* |
Cs, Си . . . , |
Cs любого порядка. |
|
117