Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 97
Скачиваний: 0
В самом деле, при дальнейшем дифференцировании |
||
th |
£(П |
|
выражения кроме фактора |
20 |
появляются еще |
E U ) |
|
|
выражения |
|
|
£=£ (f) |
Е дЕ |
th20 |
' Е=Е (f) |
||
являющиеся ограниченными |
функциями |
Е, поскольку |
th-g-
- Е при малых Е разлагается в ряд Тейлора по четным
степеням, а при Е~> <х> убывают как
|
1 |
const |
1 |
const |
|
~W ~ |
’ |
~W |
|
Кроме |
того, при |
дифференцировании U по перемен |
||
ным С |
появляются еще |
полиномы по Са, Са, Ха (f), |
||
также не мешающие повторению приведенных выше рассуждений.
Возвращаясь к выражениям (3.54) первых производ ных, видим, что поскольку они являются непрерывными
функциями С, то в точках С — С, реализующих абсолют
ный минимум функции /00{Я(С)}, |
имеем |
||||
2g aC a — |
|
th |
E(f) |
|
|
§ а |
29 |
( y i |
|
||
2(2л)3 |
- r |
f r |
I l i |
{f)\ K if) df = °> |
|
J |
|||||
|
|
thE( f ) |
|
(3.55) |
|
2g aC a - |
£а |
|
K ( f ) d f = o. |
||
2(2л)3 |
|
|
|
||
Итак, резюмируя полученные сейчас результаты, убе ждаемся в справедливости следующей теоремы.
Т е о р е м а 3.3. Если в гамильтониане (3.29) опера торы Т, / а имеют вид (3.29*), а функции %a{f) удовле творяют условиям (3.37), (3.38), (3.39), то
|
|
! М / / ( С ) } - и я ( С ) } К 6 и |
(3.56) |
||||
для |
|С а |^ 2 М , (а = 1 , |
... , |
а), где |
6к —>0 |
равномерно |
||
по |
0 в интервале |
(0 < |
0 ^ |
0О). |
|
|
|
|
Здесь |
fx {Я (С)} |
представляется выражением (3.53) и |
||||
обладает |
непрерывными частными |
производными по |
|||||
пз
переменным (С,, . . Cs, С,, . . ., Cs) всех порядков для всех комплексных значений этих переменных.
Эта функция имеет абсолютный минимум в про странстве всех точек (С), который реализуется в неко торых точках С = С:
minfOB{H(C)} = fao{H (С)},
|
|
(С) |
|
удовлетворяющих уравнениям (3.55). |
|
||
Имеет место неравенство |
|
||
|
|
I M tf ) - L { tf ( C ) } |< 6 „ |
(3.57) |
где Ъ\>= |
(е |
+ fy/j -> 0 равномерно по |
0 в интервале |
(О < 9 < |
0О). |
|
|
Сделаем сейчас примечание к этой теореме. |
|||
§ 6. Примечание к теореме 3.3 и построение |
|||
вспомогательного неравенства |
|
||
Точка |
С = С, в которой функция /га{Я(С)} достигает |
||
абсолютный минимум, вообще не является единствен ной; но в частном случае, когда абсолютный минимум
реализуется в точке С — 0, |
свойство единственности |
имеет место. |
|
Иначе говоря, если |
|
min fx {И (С)} — fx {Н (0)}, |
|
с |
|
то |
для С ф О |
L{H(C)}>f„{H(0)} |
|
(т. е. для С, у которых хотя бы одна компонента Саф 0). Чтобы установить это свойство свободной энергии, взятой для аппроксимирующего гамильтониана, пред положим обратное.
Тогда существует такая точка С ф 0, что
L{H(C)} = foo{H(0)}. |
(3,58) |
Положим С = ] / т С (т > 0) и рассмотрим функцию
ф (т) = foo { н{ Ух ■с)}.
Тогда, благодаря (3.58),
Ф(1) = Ф(0). |
(3.59) |
Воспользовавшись выражением (3.53) и дифференцируя,
найдем
<*фdx(т)_ оV ffJC a P |
1 |
th |
£(/) |
|
|
|||
|
20 |
S Sp^p^p (/) |
df, |
|||||
(2л;)3 |
|
E ( f ) |
||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
d2cb(x) |
4 |
Г |
eg/0 |
_ Sh |
9 |
6 |
S ^P^P^P W |
df. |
dx2 |
(2я)3 |
J |
(l + e£/0)2 ' |
E3 |
||||
Так как |
|
|
|
E_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
> 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
E3 |
|
|
|
|
to |
d2<D может обращаться в нуль, |
|
лишь если для всех f |
||
тождественно |
|
= 0. |
|||
|
|
S ё а С а К ( / ) |
|||
Но в этом случае и |
|
|
|
||
|
|
V £ р ^ р \ |
(/) |
2df = 0, |
|
так |
что |
р |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
с1Ф(х) |
2 ^ g a\Ca \2> 0 |
(r>0). |
||
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
|
Это же неравенство находится в противоречии с (3.59). Следовательно,
|
|
d m ( х ) |
> 0 . |
|
|
(3.60) |
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
С другой стороны, |
поскольку |
С = |
0 |
дает |
абсолютный |
||
минимум f{H(C)}, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
Ф (т) > Ф (0) |
|
(т > 0). |
|
|||
гг |
d<D(т) |
,, |
|
отрицательной |
|||
Поэтому — — не может быть |
|||||||
Отсюда |
и из (3.60) |
вытекает, |
что |
|
> |
0 для т > 0, |
|
и, следовательно, |
Ф (1)>Ф (0), |
что |
опять противо |
||||
речит (3.59), |
|
|
|
|
|
|
|
I2Q
Итак, сделанное примечание доказано.
В заключение настоящего параграфа, содержащего предварительные результаты, относящиеся к свойствам свободных энергий fv, fv {Н (С)} и /00{Я(С)}, докажем еще неравенство, которым в дальнейшем будем часто пользоваться.
Рассмотрим системы, определяемые гамильтонианом, линейно зависящим от некоторого параметра т:
Я ^ Г о + тГ,.
Определим формально выражение
fv(HJ = ~ y ln S p e -^ /0,
которое будем называть свободной энергией на единицу объема V для модельной системы Нх. Дифференцируя Рто выражение, имеем
|
J _ r |
|
v |
Spe_Wt/6 |
|
|
(3.61) |
|
d x t v W x) - |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
d% ( HJ |
1 |
i |
__i t |
~ 7Г(1-1) |
|
||
Sp Г,е ° Г,е |
х/е |
di |
|
||||
d x 2 |
W . |
|
- я |
|
|
||
где |
|
о |
|
Sp e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но, как |
было |
показано |
в § I этой главы, |
|
|||
|
|
|
|
< 0 , |
|
|
(3.62) |
ввиду чего |
|
|
d x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уу ( Нх) |
d f y { H x) |
d f y ( Я |
) |
( 0 < t < 1); |
|||
dx |
t=l |
dx |
|
dx |
т—о |
||
|
|
|
|||||
и потому для |
разности |
|
|
|
|
||
|
fy ( Г о + Г Л - М Г о )^ |
|
|
|
|||
получим |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
{ |
}т=1 < fv ( Г ° + Г i ) ~ f v (Го) < |
dfy (Нх) |
т=о |
||||
dx |
|||||||
121