Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 101
Скачиваний: 0
делу V-»oo, найдем
I < a < .у 1
Отсюда, дословно повторяя только что проведенное рассмотрение, убеждаемся, что и функция
U tf ( 0 } = /%o(C) + 2 2 g ac ac a a
имеет абсолютный минимум в пространстве всех точек С, который реализуется в некоторых точках
С = С е 1 (2М1).
Имеем теперь из (3.35)
L (Я (С(Ю)} ~ / (Я (С^>} < % (2ЛГ,),
Т { Н ( С ) } - и н (С )}<% (2М1).
Но, по определению абсолютного минимума,
L (я (с^>)} > L {я(С)}, f{н (С)} > f {н (С<^>)}.
Следовательно,
f»{W (C)}-f{W (CW )}<%, (2М,),
Или
I f . {Я (С)} - m in /{Я (С)}|<6„,
с
где
6V, = %(2М 1)-1д ^ > 0 .
Принимая теперь во внимание теорему 3.1, получим окончательно
~ b v < L {Я (С)} - f (Я) < е ( ^ ) + 6„.
Итак, мы доказали сейчас следующую теорему.
Т е о р е м а 3.2. Если выполнены условия теоремы 3.1 и если для любых комплексных значений Сх, ...» Cs существует предел
U { H ( C ) } = Пт / { Я ( С ) } ,
то
1) эта предельная функция имеет в пространстве всех точек С абсолютный минимум, который реализуется
107
в некоторых точках
C = C e l (2M,)j
2)справедливы неравенства
-by < L {Я (С)} - / (Я) < е (-1) + б„,
где |
|
|
|
e (-f)-> 0 , |
6и-+0, |
в„ = |
max |/{ Я ( С )} - /0о{Я(С)}|. |
|
|
Се® (2/И.) |
|
§ 3. Построение предельного соотношения |
||
для свободной |
энергии |
|
Перейдем теперь к специальному рассмотрению тех |
||
случаев, когда |
операторы Т, |
/ а в гамильтониане (3.1) |
имеют форму (3.29 *).
Нетрудно показать, что условия теоремы 3.1 в таких
случаях будут выполнены, если |
|
|
|
y '^1\ T( p) K ( P , o) \ < Q 0, |
(а) |
|
|
р |
|
|
|
у |
% \ К ( р , |
(b) |
(3.37) |
|
р |
|
|
y Y * \ K ( p , tT)P<Q 2 |
(с) |
|
|
|
p |
|
|
( a = l , .... s; |
a = ± 1 /2 ; Q0, Qh Q2= |
const). |
|
Тогда, например, в неравенствах |
(3.30) |
можно положить |
Mi = Qi> M3 = Q2> |
M2 = 2Q0. |
|
Пусть теперь, кроме неравенств |
(3.37), функции |
|
Ла (р, а) для всех точек р пространства Е удовлетворяют еще следующим условиям:
1) I M p ,a ) K Q (Q = const). (3.38)
108
2) Множество точек разрыва рассматриваемых функ ций Ха(р, о) являются множеством меры нуль в про странстве Е.
Покажем, что в этой ситуации выполняются и условия теоремы 3.2.
Заметим только, прежде чем перейти к данному вопросу, что неравенства (3.37), (3.38) не являются не зависимыми.
Действительно, из (3.37Ь) и (3.38) следует (3.37с). Кроме того, (3.37Ь) вытекает из (3.37а) и (3.38). Таким
образом, все наложенные здесь |
на Ла неравенства вы |
|
полняются, если справедливы |
неравенства |
(3.37а) и |
(3.38). |
еще, что (3.37а) и (3.38) |
|
Пользуясь случаем, заметим |
||
имеют место, если Ха удовлетворяют неравенствам |
||
I К (Р. °) I < |
{К, а = const). |
(3.39) |
Перейдем теперь к вопросу о выполнении условий тео
ремы 3.2. |
Поскольку |
в исследуемой ситуации |
условия |
теоремы |
3.1 выполнены, нам надо только показать, |
||
что для |
любых фиксированных комплексных величин |
||
С,........ Cs существует |
предел |
|
|
|
L { H ( C ) } = l i m f v {H(C)}. |
(3.40) |
|
|
|
V ->оо |
|
Для этого запишем операторную форму аппроксими
рующего гамильтониана |
в виде |
|
|
Н (С) = ^ |
Tfdfdf —~ ^ |
{Q {f) afa-f + Q (/) a_faf} + |
|
f |
f |
+ 2K ^ gaCaCa, |
(3.41) |
|
|
||
где |
|
a |
|
|
|
|
|
|
Q(f) = 2 2 g aCaXa(t). |
(3.42) |
|
|
|
a |
|
|
|
4- |
|
Переходя к ферми:амплитудам af, af, связанным со
4*
старыми cif, cif преобразованием (1.18),диагоналнзуем форму (3.41) и получим
Н (С) = V; Efafaf + |
К ( 2 V gaCaCa - |
V {Е, - Tf} |
f |
l a |
f |
|
|
(3.43) |
109
где |
|
|
|
|
|
|
E f ^ V f j |
+ \ Q(f) f, |
(Ef = E (f), |
Tf — T (/)), |
|
откуда |
найдем |
|
|
||
fv {H (C)} = - |
у In Sp e~H<c»e = |
|
|||
= |
2 £ |
gaCaCa - 2ТГ S ^ |
~ r f} “ Г |
S ln (1 + |
|
|
a |
f |
|
f |
|
|
|
|
|
|
(3.44) |
или, |
выделяя |
в суммировании индексы р и а: |
|||
/к {Я(С)} = 2 |
^ аСаСа - |
|
|
||
оР
-0 Е т Е 1п{1 + е - * (ЛО)/0}. (3.45)
ар
Сдругой стороны, нетрудно заметить, что если мы имеем некоторую ограниченную функцию F (р) (опреде ленную везде в пространстве (Е)), точки разрыва ко
торой образуют множество меры нуль, то тогда
у- |
I F ^ dP |
(3-46) |
P.^ s r |
sr |
|
для любой сферы Sr с произвольным фиксированным радиусом г. Действительно, такая функция F (р) будет интегрируемой в смысле Римана в области Sr, а для точек суммирования
и__ (2я«! 2яп2 2я«3\
р ~ \ 1 Г ' ~ТГ ’ ~т~)
имеем
АР,-Др»-Др« = ( ^ 3- 12“»'
(2я)3
Так что —у — 2j Е(р) будет суммой Римана для интеpesr
грала | F(p)dp. Заметим далее, что если еще
V 2)l F (р) К Л = const,
I 10
то тем более
у S I П р ) \ < А , P^ s r
откуда, переходя к пределу при У-*оо, имеем
J |P ( p ) |r f p < А
s r
Благодаря произвольности радиуса г видим, что F (р) является абсолютно интегрируемой функцией во всем пространстве (Е), причем
Пусть теперь для данной функции F (р) справедливо неравенство
у |
S |
\F(p)l<r]n |
|
|
|
p e = E -S r |
|
|
|
где (Е — Sr) обозначает |
множество |
точек Е, |
лежащих |
|
вне сферы Sr, а цг не зависят от У |
и т}г->0 |
(г-> оо). |
||
Тогда, очевидно, |
|
|
|
|
р |
|
F ^ |
dP’ |
<3-47) |
|
|
|
|
|
так как достаточно фиксировать произвольно малое
число е > 0 |
и выбрать |
г = г0 |
так, чтобы |
|
|
< е/4. |
|
Ввиду (3.46) можем |
найти |
такое число F0, что для |
|
V ^ V q имеет место неравенство |
|||
1 |
■£ f <p ) |
|
F(p) dp |
т |
(2я)3 |
||
|
|
|
П1 |