Файл: Боголюбов, Н. Н. Метод исследования модельных гамильтонианов.pdf

Скачать файл (5,74Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 86

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Заметим, что функция				F (f;		C + tz,	U) будет		предста
влена правой частью формулы (4.43),							в которой			Q (t) в
выражении		Е (f) заменено			на	Q (/) -f t&\ (f), где
		Qi (/) =	— S		2 g a { z aX a (/)}.
				a
Имеем поэтому
d 2F (f; C + tz, U)				1		2 ^ \|Q Q 1+ Q Q 1\|2 +
	d t 2
		8E3(l + efi/e)2
+	(4T2(/) \| Q, I2+! QQ, -				QQ, I2) (e£/0+ 1) (e^ -					1)} < 0.
откуда, на		основании	(4.49),
d 2f x	{ H ( C +	tz)} ^	.	V	'	<	Y	zaza>		(4.50)

где g	— наименьшее из			чисел g t , . . .			,g r .	Отсюда выте
кает (как и в начале				настоящего параграфа), что ре
шение уравнений (4.47)				единственно.			Другого		решения

(кроме С — С = С (U)), дающего абсолютный максимум функции /00{Я(С)}, у этих уравнений нет.

Как уже отмечалось, С {U) определена при любых комплексных t/ = (... t/p ... ) и равномерно ограничена неравенствами

I Ca(U) |< Q,.

(4.51)

Покажем сейчас, что Ca(U) являются непрерывными функциями и обладают непрерывными частными про-

изводными по переменным ... f/p ... f/p ...

Для этого воспользуемся известной теоремой о не явных функциях. Так как эта теорема в своей обычной формулировке относится к уравнениям с вещественными переменными, перейдем сейчас от наших комплексных величин Са, Яр к вещественным.

Положим

Са	ха -(- ixa+r,	£/р =
*	ха ^а+п	*
с а ~	ха ^а+п	^ 0 := ^\|3 ^\|3-М
(ct =	1........ Г,	5 = 1 , . . . , / ) .

Таким образом, выражение

fooW {С)} = ф{х1........ х2г‘, щ...........

и 21),

(4.52)

150

будет вещественной функцией вещественных пере менных

X,, • • • > Х2г-> П[, • • • > U'2i'

Эта функция будет непрерывной и обладает непре рывными частными производными всех порядков для всех вещественных значений рассматриваемых пере менных х и и.

Положив в (4.50)

' Уа ~Ь 1Уа+п				Za уа 1Уа+п			^ > 2, . . . , г),
запишем это неравенство в виде
Ф ( х у -\- t		y	,	x 2r - f -t y 2 r ;	И р	■ ti. 2.l ,) ^			4 g
dt								I < a < 2 r
								I < a < 2 r
Замечая, что									(4.53)
Замечая, что
X „ =	Ca +	Ca		xa+r = — i -Ca n		Ca	(a =	1,	• • •, r),
имеем			i	d
d			i	d			_]_ J_		d
dCa	2 dxa		2	dxa+r	0Ca	2 dxa		2	dxa+r

Следовательно, рассматриваемые уравнения (4.47) экви валентны уравнениям

дФ(х„. . . , оха

...,

(a = i t ' " t 2r )'

(4.54)

ъ г\_иь

Поэтому уравнения

(4.54)

при

любых

вещественных

и,,

. . . ,

u2i имеют единственное

решение

ха — ха(up

. . . ,

u2t)

( а = 1 .........2г).

В силу (4.51) имеем везде

1Х а (и,,

• . *,

И2/) |

Qi.

Далее,

взяв неравенство

(4.53)

при t = 0,

получим

й2Ф (х, и)

УаУ,а'

(4.55)

дх„ dx„

при

произвольных

вещественных

... ха ...

... уа ...

Но

.из

отрицательной

определенности

квадратичной

151

формы по //, стоящей в левой части неравенства (4.55), следует, что везде

Det ( л ~ Н ^ ) < ° -

(4.56)

Тем самым выполнены условия для приложения тео ремы о неявных функциях к уравнениям (4.54). Таким образом, убеждаемся, что ха(ии . . . , м2/) везде (т. е. для всех вещественных ыр) являются непрерывными

функциями и обладают непрерывными частными про изводными по ... Up ...

Возвращаясь обратно к нашим комплексным пере менным С, U, видим, что действительно

Ca = Ca(U) (<*=1 , . . . , г )

являются непрерывными функциями и обладают непре-

рывными частными производными по f/p . . . С/р . . . во всем пространстве точек (U).

В заключение резюмируем полученные сейчас резуль таты в форме следующей теоремы.

Т е о р е м а 4.1. Пусть имеется гамильтониан Н, определенный формулами (4.30), (4.31), в которых функ ции A,a (f), Цр(/) удовлетворяют условиям (4.24). Тогда

1) I M ff) -	L (Я) I < f			q2 ^ £a + pv (Ш),
					а
где 2)? — любое	число,	большее			всех \| [7р \|, и где при
фиксированном Ш					о
	pv m			->	о
			1/-» 00
равномерно по 0 в интервале				(0 < 0 <10О)
2)	/оо (Я) =	шах f			{Н (С)},
		с

где Н (С) дается формулой (4.33). Выражение

L {Я (С)}

определено равенством (4.46) для всех С, U и является непрерывной функцией, обладающей везде непрерыв ными частными производными всех порядков по отно шению к переменным ... Са ... ... U$ ... U$ ...

152

3) Уравнения
dfooUHC)) _ Q	dU{H[C)) _ Q
’	<

имеют при любых комплексных Яр единственное решение

C = C = C (U ).

Это решение реализует абсолютный максимум в 2);

L {Щ = max L {Я (С)} - L {Я (С (Я))},

Функции Ca(U) везде непрерывны и обладают непре рывными частными производными по отношению к пере менным ... Яр ... Яр ...

§ 6. Гамильтонианы с константами связи разных знаков. Принцип минимакса

Перейдем к рассмотрению модельного гамильтониана с положительными и отрицательными членами взаимо действия [37]:

Я = Г 0 + 2V	V	g j J a - 2 V			У	gal j a,
					r+I<a<r+s
Ja = j y y i K (f)a fa-P					=	(4-57)
	f
(ga > 0.		« =	1 >• • •.		r + s),
	T« =	yL [	^ - v ) a faf.
		f
Предположим, что функции				д (f) — Я (р, а)		удовлетво
ряют условиям *)
1) \| Аа(р, а) К	Q =	const.
2) у- V р21Яа (р, о) К Q =				const.

3) Функции Яа(р, а) везде непрерывны, за воз можным исключением множества точек р меры нуль.

*) Условия I), 2) будут, очевидно, выполнены, если, например,

\ Ла (р, а) | ^

где '4’ S — положительные постоянные.

153

Заметим прежде всего, что из условий 1), 2) вытекает, что также

<*) \| < Q ,	=	const,
,		^	(4-58)
■у ^ I (р, °0 I2 < Q2 =		const.
р
Положим теперь
T = T , + 4V t g	aJaJa.		(4.59)
а=1
Тогда
H = T - 2 V Z g aj J a.			(4.60)
а=1

Исходя из условий 1), 2), нетрудно проверить, что для гамильтониана (4.60) с оператором Т из (4.39) условия теоремы 3.1 удовлетворены.

Чтобы проверить также выполнение условий тео ремы 3.11, нам остается доказать, что для любых фик

сированных комплексных Sa ( а = 1			,	. . . ,	г + s)
fv {Нт(5)} - L {Нт (5)}.-> о				(V->oo),		(4.61)
где
Нт(5) = Г0 + 4 И 2	g j X	~
а=1
-	2v s	ga {s j a +		SaJa -	SaSJ.	(4.62)
	a= l