Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 65

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

I?

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

S m U Hityi

 

.

Если

T

- такое

подмножество группы

 

G

,

что

 

 

1*4

 

Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& - T U S

,

то существуют

такое

 

 

 

и

элементы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из

С

,

что

n

s i t = 0

 

(пустое

подмножество)

и

[G :T J<

(*+*) ! .

 

 

 

 

 

i*l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим

элементы

методов индукции по к .

Для

к « а

утверждение

очевидно,

ибо

существуют

хотя

бы два

смежных

класса

по подгруппе

и ;

и их пересечение является пустым. Согласно

уоловию леммы

S+ G

.

Поэтому

существует такой

смежный класс

Hat* ,

что

Н & Ф

S

• Тогда

 

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

либо

пуото,

либо

равно

 

к

( и у е ^ с )

 

. Так

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

как

 

 

 

 

 

 

-п у с т о ,

ТО

Н{*НаП 5*{ “

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7-‘

 

 

 

 

 

 

применимо индуктивное предположение. Поэтому существуют такие эле­

менты

 

 

 

, & ix .

ИЗ

H L

,

что

Ха6 к !

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*"А / ’Н

 

 

с

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ртсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

ж Ф

 

 

и в силу равенства

S®

 

 

имеем,

что

5 П ( . П 1 ) ' И ! к м д - Ф

.Тогда

элементы

I

 

и

* { A u 9 i

 

 

 

 

 

 

l»i

 

 

 

4 0

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

*

удовлетворяют

условию леммы,

число

их равно

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

W

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

n > S x l= 0

 

и

G = T U S

. Тогда из равенства

 

G

=

-T-x^USxi следует, что

 

 

 

 

 

 

и в силу доказанной

части

леммы

[G '-T ]4 (« i)1

.

■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛША 12. (Вассман,

 

Ч

)

Пусть

 

-

подгруппы группы

Q

.

Тогда:

I)

если

G

 

покрыта

 

конечным числом

правых

смежных клас­

сов по этим подгруппам,

то

хотя

бы

одна из

подгрупп

Mi

конечного

индекса;

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S * G

 

2)

если

 

S = l/Hi.U;

и

 

 

 

 

для

всех

 

, то

 

 

 

 

 

 

t»i

if

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гос.

публичная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■Чрчио-тохиичввкая оиолиотеча СЮСР

ЭКЭ5в(ПЛЯР

- зв -

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

I)

При t = I

 

лемма

очевидна

и

предположим ее

справедливость для t - i

 

 

подгрупп.

Пусть

 

 

 

 

 

.

Тогда су­

ществует

смежный

класс

* к 9

, не

участвующий в покрытии

группы в

,

и

 

покрыто конечны*

числом смежных

классов

по подгруппам

Д , ,

 

H jj, , » . . ,

 

«

так

как

различные

смежные

классы по

H i

 

не

пересе­

каются. Отсюда, путем умножения на элемент

из

группы

£г

,

можно по­

лучить покрытие наперед заданного смежного класса по подгруппе

H i .

Среди таких классов

только

конечное

число участвует

в

покрытии

группы

G

- Поэтому можно построить

новое

конечное

покрытие группы G

смеж­

ными классами по подгруппам Д

 

 

 

 

и

применить индуктивное

 

предположение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Пусть S = C

 

и нумерация подгрупп

£Н{,^

такова,

что

 

»

 

Н ,, ... ,

 

(

х а t

 

)

-

все

подгруппы

конечного индекса.

Согласно

 

теореме

Пуанкаре

существует

нормальная подгруппа W

конечного индек-

 

 

 

 

 

 

ч

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

са,

принадлежащая

Л Hi,

 

.

Предположим,

htoW cl

не участвует в

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

^

М

 

 

 

 

 

 

 

покрытии множества

.О Н ,

"

.

Тогда

Wo s

U H i & i и смежные

клас-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ч

i=44

w

 

 

 

 

 

 

 

оы

 

 

 

 

^

 

a j

€ П ( k /W ) ,

 

 

t

»

снова

покрывают

 

группу

С

,

что противоречит

доказанному в

пункте I .

Поэтому

& =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м я

некоторого

i

*

Отсюда

 

 

 

,

что

невозможно.

■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Группа

 

G

называется

J x

-группой, если централи­

 

затор каждого ее элемента-прдгруппа конечного индекса,

 

 

 

 

 

 

 

ЛЕША 13. (Эрдеш )

Для конечнопорокденной

£ с

-группы

6

можно

указать

такое

пг

,

что

срг

принадлежит

центру

группы

G

 

 

 

 

 

"

тут

 

Дня всех

 

 

v

е О .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Если

С = <

 

 

 

 

,

то

подгруппа

flC g ty i)

содержится в

центре

группы

G и по

теореме

Пуанкаре

ее индекс

также

 

конечен в

G

. Поэтому

группа

J )

CgCfyi)

- коне чнопорожденная

ж

в

Тг™I

I

- 19 -

ней существует такая абелевая подгруппа А без-кручения, что

[G'A]-m <oo t

Пусть

X ,

<■в/А

и

-

произвольный элемент из

X

. Тог­

да элемент

 

 

 

не

зависит

от выбора представителей

клаосов

X

и (I

, ибо любые два элемента яз класса отличаются на

элемент

из

центра

группы

С .

 

 

 

 

 

Пусть

а (£ )=

f ]

 

. Тогда из

равенства f ( M

n >

S r ] "

■ Ш ш '> Г » « •“

>*.

4,0

a ‘ , f a tf .r ~ a-‘.K a >,r-

 

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< / .

a

w

 

)

:

^

a r t , r

s / ] a ^

r

%

 

 

r

e

a

w

a

(/*)

 

r n

Если

 

 

,

 

то

отсюда ввиду равенства

0 -^^=

 

 

i

получим,

что

a,((L)m- a ( X

m) * a ( i ) = i

, -Так как

Д

 

группа

без

кручения, то

а . Ш ж1

и в

силу ( I )

a /)(1 = 1

.

Следовательно,

 

 

 

 

 

• ■

 

ТЕОРЕМА. 1».

(

Нейман

)

Коммутант J*c

 

-группы является периоди­

ческой группой, а периодическая часть

конечнопорожДенной J o

-группы -

конечна.

 

 

 

 

 

 

 

 

Л ) *

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( a * >i t )

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

 

 

 

 

£ ,

С =

 

 

 

- -

—

элемент

из

коммутанта

С

и

}-]=

 

 

 

 

 

,tz ± d l>

. Тогда по лем­

ме 13

существует такое

т

,

что

-А.

 

принадлежит

центру

группы И

и

с п ‘= ( о С , С ) . . . Х а ? Л П = \ -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предположим теперь, что

G

- конечнопорождеиная

группа.

Тогда

 

полный прообраз

т

 

периодической

части

абелевой группы

B/Q'

ис­

 

черпывает все

элементы конечного

порядка

группы

G ,

поскольку

G -

периодическая

группа.

При

доказательстве

леммы

13

было

установлено

 

существование

в

центре

группы 1г подгруппы конечного

индекса

А

без

кручения. Если

C?d

cP (G ) и лежат в

 

одном

смежном классе

по подгруп­

пе А

,

то

е а= с / = ^

для некоторого

ГЬ

 

. Тогда

из

равенства

a c

= cI

следует

а ”= 1

,

что

возможно в

А

лишь

при

c t -

 

1

.

Следовательно,

P(G)

-

конечная

группа,

так как в каждом

смежном

классе

G

по

А

 

 

 

 

 

-

20

-

 

P (G ). В

 

 

содержится не более одного элемента из

 

 

 

СЛЕДСТВИЕ. (лемма Дитцмана)

Если

конечное

подмножество W ,

состоящее из элементов конечного порядка группы

G ,

инвариантное

относительно внутренних автоморфизмов группы G , то W

порождает ,

конечную нормальную подгруппу.

■

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

G

-

произвольная

группа и

 

 

 

 

 

 

A =A (G ) = [У

I IG-Ca ( f )]«*>}•>

 

 

 

 

 

Тогда

Л к

-

инвариантное подмножество,

а

А

- нормальная подгруппа

группы

G

. Очевидно, что А

является

J c

-группой.

 

 

Определим

следующие отображения:

т

 

на

К А

и

К А к соответ-

стве нно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что О является ХА -гомоморфизмом модуля KG на модуль

ХА •

ЛЕММА 15. (Пассман, *» ) Пусть

KG =

»

У

 

 

 

 

. У £ “ /

>

/

>

8

 

ввполняетоя

линейное

тождество

 

—

 

и

 

для всех

с р б \ Т

. Чр-

ли

г $ < х

и

(<£{)*©

Для всех

£

, то либо

^ = 0

»

ли*)

 

г е т м к / .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть

 

и и . £

 

У" • Тогда из равенства

 

 

 

 

 

следует,

что для каждого

 

 

 

существу­

ют такие

g.,-,

и

, что

 

•

Sc®

6 \ Т

,

которые

удовлетворяют

этому равенству при

фиксированных

i

и

 

,

принадле­

жат

смежному классу

C g ( « ^ ) u ^ .

Поэтому

C

' T

S

S =

j j

 

 

 

» [G:Cc (f l )]>K ввиду

предположения

 

*

О . В силу

неравен­

ства

 

и леммы

12

,

а

отсюда

по левые

I I

 

[ G;T ]

4

£ ( ’Z S f l ) ! =£ К /

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛЕША 16. (М.Смис,!

) Пусть

dC{.,/3.cKG

к выполняется линейное

Смотрите также файлы