Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

-

99 ~

ны и

совпадают,

когда

G.

и

Ц .

-

конечны или

G*

и

Н*

- бес­

конечны;

3)

если

G ./g i

-

бесконечная

группа,

то

/G*j

- i

тогда и

только

тогда,

когда

.

■

§18.

МОДУЛЯРНЫЕ ГРУППОВЫЕ АЛГЕБРЫ

Обозначим

произведение Ли (аддитивный коммутатор) элементов

г р .к .

KG обычннм

способом;

[х0хд] = сс.эс*,-х*х,

,

а произ­

ведение

i , ]

будем записывать

так

Определим следующие

К

-модули гр .к .

KG

:

А Ш(Кe ) - A ( K G )

,

а для

л > 1

Л

ЧКй) = [ Afl*” ^(Кв), А (К б)]

,

где

ACKG)

-

фунда­

ментальный идеал

г р .к .

# 6 .

Очевидно,

А ^ О г ф е А 'Ч к б )

, а

и з-за

билинейности произведения Ли

К-модуль

А (Кб)

порождается

аддитивныш

коммутаторами

J »

где

« ^ е С .

Пусть

и

-

простой коммутатор группы

G . Тогда

л -в й член

G n

нижнего

цент­

рального

ряда

группы G

порождается

простыми коммутаторами вида

ЛИМА 83 .

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим

через

e t* g ,4 ,

а для п >1

с а *

• Тогда

^~<1*-1£ А

(KG)

и

cft- i

•(<& $?•

,

^ Поэтому для

я « а

лемма верна

и предположим ее справедливость для

л-1

.

Тогда

= d-n-i + ^

( t t t

А"(КЙ)), откуда

на основании

( I ) следует утверждение леммы.

В

СЛЕДСТВИЕ.

Ж

п)+А "Чкв)-А м ( к е ) + А"4(К £)

>

•ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теоиеме 62

lift

, «*л * . .

Если

C i ,

то ввиду

следствия

из леммы 83 существуют такие

и . а и\ т

я

г ъ А ш о с б )., что

.

Тогда

с. А *(К6),

и

t A nM(K C )

,

если

.П о ­

этому для

всех

А €.56),.

в силу тождества

* < Н =(х-<1)(у-4+(х-1)+(у-4)

( 2)

J? -/+ A

(Kfi) £

^ Л//С*1(К6) и отображение

<р(£) =>^-i-t-A**Y#6)

есть гомоморфизм группы

на

аддитивную группу

L « / j r ll№ ) .

Если

ipf-z-п

, то

элементы

Г^»>9»г " >

^

АП<1(К б )

порождают

группу

в

силу леммы 83

существует

такой

v-feA^CUG),

что

.

^

где и а А П*1(К&)

«Следовательно,

f

(($*.&,«..,fc)0 -

АЯШ )

и Кеъ V

состоит из всех таких

»

что

£ А

* * » ) .

Значит

и лемма доказана.

Я

ПРЕДЛСИЕВИЕ 8 5 . Пусть G

f> -группа,

JC

-

поле и з р эле­

ментов и

Н - базисная

подгруппа г р .а .

JCG

. Тогда:

I)

Я -

f -группа и для групп

С я И совпадают их показатели

и изоморфны соответствующие факторы W- -рядов;

2)

если

& - счетная группа, то

Cyfc1~ Н /у

и центры групп О и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО♦ Пусть

сН

и порядок каждого

делит

|>Л .

Тогда

t - i ^

i - 1

1

v - l

1)4 w

= L*'»

,

где

W £

^(К Г т) .

Отсюда,

l U c t O i e )

и по предложению б это

возможно,

когда

,

Следовательно,

Н

-

|>-группа и в силу

равноправности

G-

и

U

их показатели

совпадают.

Из определения

базисных

подгрупп следует,

что А(К6)«*А(КН)

и

Л

б )

= А ^ ( Ш )

для всех

1ь

. Поэтому

L„(K 6) =*L„(KH)

и в

силу леммы 84

и теоремы 62 факторы

'Ш -рядов для

групп Сг

и U

изоморфны.

УС&)

Очевидно,

идеал

является

наименьшим таким

идеалом,

что

фактор-алгебра

коммутативна.

Поэтому’

У(С')с У(Н') и по

пред­

ложению 3

.

Следовательно,

по

теорем? 78

G/gi г

г

Пусть

-

центр г р .а ,

KG

,

^ ( 0 )

- центр группы

в

содержащий

у.

.Элементы

(cf& A (6))

образуют

базис

ал­

гебры

$(K G )

.Е сли £ ( # 6 )

- коммутаторное

К-подпространство

г р .а .

K G

, то W (K&)=J(KG)n£(tiG).

—

идеал алгебры

^(К £ т) ,

так как для

эс = X 2 A ( x ^ i~ ^ ix 0 e’WifiG)

и

■*-(■$(%<}}

* *

= I Z X i [ (xX i)y c -p i(X X i)]

(. W (KCt) .

Согласно

предложению б

-О

и

€ W f№ )

,

если

содержащий

^еА (С ) ,

есть

степень простого числа

}> .

Поэтому

^

Х/(Кб)

^

.

Так как

Н

~

j>-группа и

К б в КН

f

то

и

K

j W

^ W

) .

По предположению

3 (G)

- счетная

группа и по теореме 78

3 (G )* 3 ^ )

• *

TEOPFMA 8 6 . (Паоси,

Сагал

I

)

Пусть

С

-

j>—группа и

KI

-

поле из

f>

элементов,

а

II

.

базисная

подгруппа г р .а .

Кб

.

Тог-

да

для каждого

г

у г и ш /

^

( а )

Off

7 П ; ( Ю /

•

/ т

“

1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

& *=5& а (К 0 )

. Очевидно,

что

5/(» л) е

s

A

ft(K 0 )

и

К -

подпространство

^

^

%

-

Х

к

о

)

пространства

^

обладает

таким дополнением

что

А п( м ) з Г п( №

з Ам ( №

) . Тогда

£ = £ ( * & >

-

идеал

г р .к .

KG

.

Действительно,

произвольный

элемент г р .к .

Кб

имеет вид

dt-MX

, где £ е К

и

а

бА(Кб) ,

и для

всех xe Jv^5 Ап(К б)

х а , а х

fe A**(K 6)sFn

. Следовательно, (<£+а) х

,

x(<t*a)

£

fJt .

Отображение

¥($) **f-

+

является

гомоморфизмом

& а

на группу

а ” * К * '4 „

. т о ? - 1 4 £ . . е А " ‘( к е )

,58 м

Тогда из

следующего разложения в прямую оумму

К

-под­

пространств

а “

+ Г № ^ < « « + F“ (KG^

«

СЗ)

заключаем, что

J -J

£

У(э9аи)

АЛ*1(К б )

.

8начит,

П+1

*

ФпСКб)+ & ,(* & > /

(<0

F ^fK G ) .