Файл: Бовди, А. А. Групповые кольца учеб. пособие.pdf

ю з

-

Так как

Ц ( № = Ц т )

И

А (Ю ?)=А (КН )

,

то по лемме 84

для

существует

такой

& £ $ t (KU)

,

что

у - ц . А ы (№ = $ .-1 + А ы №

) .

(5)

Отсюда

У (Л вм№ й))+А,11(Кб)«!/(1Й«м(КН))+Д1,“^]йИ)

и в

0ЙЛу ( з )

разложение в

сумму

К -подпространств

АМШ V /

y ( $ u m j ) + A ™ m ) /

( М

/

ч

т

W

*“

/*««

<6)

' г

*

4

п ю

являетоя

прямой.

Тогда аз

(5 )

при

t»n.

и ( 2 ) ,(б )

имеем,

что

у ,-{«£(■&t-t)* и.

,

где

ii6 ./£ tl(KG)

,

au(lCG)

и

£(К .

Поэтому

« ♦ « к е > - А * л й . - 1 > * £*< *«>'

и в

силу

тождества

(2)

!

f

• Сдедовательно,

1

$п(№)+&„№)/

. £

5&,,(КЮ+К,*СКф

4 м ( т

% № )

\

и в

силу (4 )

и (6)

^

т %>л+1( № ) .

а

это

есть

требуемое утверждение ввиду

теоремы 62.

В

ПРИЛОЖЕНИЕ 87 .

Пусть

К

-

поле

из

j>

элементов и G • ко­

нечная

^-группа

класса

нильпотентности

2 .

Если

Л

-

базисная под­

группа г р .а .

К б

и $ (б )

-

центр группы

6

,

то

1)

% ( G ) s H /j(H )

и коммутанты групп

С

и Н

изоморфны;

2)

G&H

, если показатель группы О

равен

[>

или

4

при

/>»2 .

*

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно предложения 5

A(KG)Лj(KG) =

и сумма элементов

XI^

класса

сопряженных элементов

группы

б

принадлежит

'bad

$ 0 5 6 )

,

если

^ .£ ^ ( 6 )

. Так

как

Q1С ^ ( й )

,

то каждый класс

,

где

с р

6

и

L - подгруппа комму­

танта С-' группы

£г . Поэтому идеал

<^utdj(KCl) >

г р .а .

K G

,

порожденный

4 akL^(HG )

,

совпадает

с идеалом

У (3 (6 ))

,

Тогда

из равенства

-

104 -

и в си,ду изоморфизма центров

3«*>.

*

соответственно

групп

G

и Н

(см .предложение 85)

следует,

что

ЭД (С » = ^ (зШ ))

,

так

как

У(5(Я)) е

< ч а ^ З (К Н )>

и

di/rigtf(3W)) =

, Поэтому

К в4 ( й а %

( й ) - %

(Н) ) Й К ^ Ш )

»

л .

теореме

Те

С/З д

3,

Н/а

д

.

Если И

-

базисная

подгруппа

г р .а .

JCG

, то А (К 6)= А (К Я ) .

Так

как

J/(oO=i/(W*)

(см .стр .

92.

) , то

согласно

лемме

73

Т(в'У

а, A*fKH) /

(7)

' Ь У с ш т

'/Г(пи)

/ л "“

Выберем

канонический базис

абелевой

группы

G'

по отношению

к

171 -ряду

группы

<г

и рассмотрим

конструкцию Холла-Хартли

(см ,

§13),

Тогда легхо подсчитать,

что

числами

I J C )

= оtin K An(KG^/o ^ ^ )

однозначно

определены порядки

факторов

^

ТЙ-ряда

группы

С?’ .

Очевидно,

порядки

факторов

7 W -ряда

конечной абеле­

вой

р —группы

однозначно

определяют группу

6 '

и

на основании

(7 )

группы

й-'

и

U1

изоморфны,

2) Если

показатель

^-группы

с классом

нильпотентности

Z

равен

1>

или

4

при

f>“ Z

,

то

7П ^((ж )-1

и по теореме

86

группы

£

и

Н

изоморфны.

■

-

105

-

§19.

АВТСМОРФИШЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО

ГРУППОВОГО

малым

Для изучения

свойства групп

автоморфизмов Aid. Ъ&

целочислен­

ного

группового

кольца

нам

необходимы некоторые факты об ав­

томорфизмах центра целочисленного группового кольца.

Пусть

С

-

конечная группа

и t t » , ...

,

f t g

-

массы

сопряжен­

ных элементов группы

& . Тогда

элемент

ft; = i —1

Ф

целочислен-

ZG

f t t l i

ного

группового

кольца

называется

классовой

оуймой группы С .

Очевидно, что классовые суммы Л .

группы

G образуют

базис центра

JC&G)

г р .к .

ZG- .

ТЕОРЕМА 88 .

(С Л .Берман .2 )

Каждый автоморфизм

•#

целочислен­

ного

г р .к .

ZG

конечной группы

£г

индуцирует мономиальную подста­

новку на множестве классовых сумм группы

6 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть

Щ ,

...»

%

-

все

неприводимые комплек­

сные

характеры

группы

С

и

а.,-6

е

ZG

.

Тогда

определим внешнее

произведение в

кольце

Z G

так:

Еоли

' f

-

автоморфизм

г р .к .

Z G

,

то

элемента

f ( & t)

снова

образуют

Z -базис

центра

^ (7 .6 )

.'Поэтому

существует такая

подстановка

б*

на множеотве

1 ,2 . , ... ,f

t

что в

разложении

^■*1

V

а

•»

целые числа

Д*я всех

, Если

Wf

-

порядож класса

Л{

,

то

при поиощи соот­

ношения

ортогональности

для

характеров

получим,

что

где

^

равно

I ,

если

{.«/■

s

, а в

противном

случае

нуль.

Поэтому

1

t-<

N

'

x,}-’ 1

°

<Г"(г)

о или

Предположим, что хотя бы для

одного

хотя бы

для одного

1<Сцга)1>1 .

Тогда

-

106

-

CD

Как известно,

функция

^ f ( ^ )

снова является неприводимым харак­

тером и

{ ^

f

I i « i

все

неприводимые

характеры группы

G .

Поэтому

W SiW iM -fa'S, ЧГМЧ/ЛЫ'

isri

w i

,

что противоречит ( I ) ,

Следовательно, eC(^«0

, если

^ ( i )

, a

при ^• =e '{ l)

— X ir ( ii= H

и

'f ( f t t ) * ±

.

■

Отметим, что теорема 88 справедлива для групповых колец над

кольцом

целых величин

(С.Поляк), а

также для г р .к .

над некоторыми

СД.Берман выдвинул предположение,

что каждый автоморфизм центра

Ь С ъ й )

целочисленного

группового

кольца индуцирует мономиальную

подстановку

на множестве

классовых

сумы группы

G .

Предположение

СД.Берманом проверено для

г р .к . нильпощентной группы

класса нильпо­

тентности два методами теории представлений групп.

В г р .а .

С &

над полем комплексных

чисел

С

можно ввести ин­

волюцию, поставив в соответстве каждому элементу

at feCSCr

элемент

nt*

по

следующему

закону:

если

, то

х * «

в

+— 4 <Cx4fs

,

где

И

- комплексно-сопряженное число

к числу

X ,

. Тогда легко

проверяются следующие

соотношения

I)

(а а + у ) " - о с * + у * ;

( * $ ) * - у***

*.

(2)

l<£i]3'+ U J a'+ — *

*" .

Очевидно,, что

центр

^(CG )

алгебры (DG

является прямой сум­

мой

полей:

ЗССО'Се^Се*-*- ... +С е5 ,

(3)

где

е ,

- минимальные идемпотенты

центра

алгебры

С 6 .

Автоморфизм

-f

центра

^(ZAi)

кольца

XG-

однозначно

опреде­

ляется действием

■f*

на базис

: