Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf

т'

N

Тг

т ' + т"

П

%' + т/

(5 .39)

Из формулы (3 .3 8 )

следует,

что

f

i - K r

(3. 40)

Г

Яг

§

4 . Двойные и модулярные неравенства

I . Основные понятия и определения. Рассмотрим необходимые поня

ста линейных управляемых

систем [ 6 2 ] .

Пусть

Л

*-множество действительных чисел.

Тогда для

любых

элементов

а

и

ё

из

Л

имеет место одно и

только одно из

соотношений:

а - 8 , а >ё и а < ё .

Обозначим через

х

любой элемент подмножества

X

множества Л

действительных чисел.

Определение.

Совокупность неравенств х > а

и

X < 8

при

условии (X < В

называется двойным неравенством

U < X

< В .

(4 . 1)

Если ЗС > -а

и

X

i ё

,

то при указанном условии

имеем

и

< X

^ ё

(4 . 2)

В частном случае

при

8 -

&

двойное неравенство

(4,2) становится

равенством

х

= О, .

S3

Предположим,

что значения

х

ограничены числами

Z я

%

При этом условии

х

можно представить в

виде

х = г + л { а - г"),

(4.3)

где

X - параметр, принимающий'значения

от С

до i

. Вычитая

из

обеих частей равенства

(4.3)долусущ у

границ С = ~L(z + А)

,

находил

2

CC-I = ( л - £) (?- г) t

O u < j .

(4.4)

Из

выражения (4 .4 )

получаем

I X - 1\ 6 J | X - г\ .

(4 . 5)

Полагая в выражении

(4 .5 )

h = £

j 2

- Z j

,

имеем

е - к

*

х *

с + я .

и . ? )

Обозначим через х '=

i n f

X

и х "=

Su/i

X - точные нижние и

верхние границы значений

X .

По определению точных границ из

(4 .7 )

получаем

х ' = i n f X = С - к

(4 . 8)

и

X “= би/i X ~ С + к .

( 4 . 9 )

Учитывая

( 4 . 8 )

и ( 4 . 9 )

,

имеем

ос " -

х

‘ = 1% -

г I

=

2 А .

(4.10)

Пусть теперь значения

х

лежат вне промежутка межпу

Z

и

Z

Из этого условия следует,

что значения X

удовлетворяют

модуляр­

ному неравенству

IX - i \ > fi ..

( 4 . I I )

2 .

Системы двойных и модулярных неравенств.

Пусть

Л

Л -

пространство

п

-

мерных векторов (

х

, ,

. х л)

с

координатами

X j

из поля

Л

действительных чисел.

Определение.

Системой двойных линейных неравенств называется

совокупность неравенств ввда

с , * а „ х ' + a , z х г + . .

*

Хп 6 S t г

с г < a Zf х , + а гг x z + . . . + &2П Хп * £ г ,

(4. 12)

-

ст * а т , х , + а т г <кг + . .

+ а тп х а « £ т г

где

tZij

,

С i

и

6 i

-

элементы из

поля

Л

действительных чисел,

a

X j -

действительные переменные.

* Систему неравенств

(4 .1 2)

можно записать

в виде

п

с ;

-.

] > > /

* /

*

S i

( г

=

(4 .13)

Г

1

или

Ci *

J i ( x

, , . . . , x a ) s

i i

=

(4 .14)

где

f i

-

линейные формы

п

переменных.

(а */ ,..., ао„)

Решением системы неравенств (4 . 12) называется

элемент

из

<Яп

.

удовлетворящий всем данным неравенствам. Задача решения