Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
48
может находиться |
си стем а, выделяется множество состояний |
S |
= { s } * |
|||||
различающихся с точки зрения надежности. |
|
|
|
|
||||
Множество |
S |
|
, называемое |
фазовым пространством системы, |
|
|||
разбивается на два |
непересекающихся подмножества S 0 и |
S |
, |
та |
||||
ких , что |
|
|
|
|
S о п S , £ ф . |
|
|
|
S c и S , = |
S |
и |
|
|
|
|||
Если s t 5 |
, |
, |
то система |
является исправной, если же |
S e |
S 0 * |
||
то система находится в неисправном состоянии. |
|
|
|
|||||
С течением времени в системе происходят изменения и она может |
||||||||
перейти из одного своего состояния в другое. Тогда последователь
ность |
состояний |
s ( t ) можно рассматривать как случайный процесс, |
||||||||||
заданный на множестве |
S |
при |
t » О . |
|
|
|
|
|
||||
Способ определения критериев надежности зависит от принятой |
||||||||||||
математической модели, |
описывающей поведение системы при определен |
|||||||||||
ных условиях ее работа. |
Мы ограничимся изложением |
моделей систем |
||||||||||
многократного действия |
с |
конечным временем восстановления [7] . |
||||||||||
Пусть дана система многократного действия, состоящая из |
N |
|||||||||||
элементов. |
Предположим, |
что нам известны у |
£ |
- го |
элемента полные |
|||||||
вероятностные характеристики времени отказа |
Fe (t) |
и времени вос |
||||||||||
становления |
Ve ( t ) . Кроме того |
допустим, |
что |
эти функции распреде |
||||||||
ления имеют непрерывные плотности вероятностей j t(t) и |
_ |
|||||||||||
Наряду с |
этим существуют |
определенные числовые характеристики |
Т/ |
|||||||||
и Т / |
, |
а |
также |
и SOg . |
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим |
сначала |
|
систему, |
которая |
во |
время восстановления |
||||||
i - |
го |
элемента прекращает работу. За |
время |
восстановления |
этого |
|||||||
элемента у всех остальных элементов не изменяются ресурсы надежности. Предположим, что число элементов в системе велико, а средняя
частота отказов каждого элемента 0Je (_t) достаточно мала по сравнению со средней частотой отказов системы 0) (t) . После каждого отказа элемента происходит его восстановление.
Будем считать, что отдельные периоды работы Т/, Т'г , . . . об разуют пуассоновский поток с переменным параметром. Длительность каждого периода восстановления практически не зависит от периодов работы и восстановления. Исходя из этих предположений, найдем рас пределение длительности периода восстановления.
49
Предположим, что отказ |
|
£ |
- го |
элемента произойдет на интер |
||||||||
вале Бремени ( t , |
t + d t |
) . |
Тогда |
вероятность |
этого |
события опреде |
||||||
ляется выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ре [ t |
< |
Те * |
i + |
d t } |
= |
d t . |
|
|
(3,2 1) |
||
Вероятность отказа |
системы |
на |
интервале времени |
( 11 |
, t * d t ) |
будет |
||||||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р { t < Т < t + d t } = со { t ) d t . |
|
|
|
(3 ,2 2 ) |
|||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
co(t) = |
^ |
СОе ( г ) |
, |
то |
|
|
|
|
|
||
|
|
С-1 |
|
|
|
|
ы |
‘ |
|
|
|
|
|
Р { t |
< Т < |
|
|
= |
у*' |
( t ) d .t . |
|
|
(3,2 3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
e^i |
|
|
|
|
|
Принимая |
во внимание (3 .2 1) |
и |
( 3 ,2 2 ) , |
определим |
вероятность |
того, |
||||||
что отказ системы в момент |
t |
принадлежит |
£ - |
щ |
элементу |
|
||||||
|
Р( { t с Те < t + d t } |
^ |
|
|
|
|
|
|||||
|
Р ( t < Т < t + d t } |
~ |
СО i t ) |
|
|
(3,2 4) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
Согласно предположению распределение времени восстановления |
£ - го |
|||||||||||
элемента |
выражается (функцией |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Р { Тс" < |
"?} |
= V e (Т) . |
|
|
|
(3.25) |
||||
Применяя формулу полных вероятностей, найдем распределение времени
восстановления, начавшегося в момент |
t |
|
|
|
|
|||||
р f 7 " " г' ) |
= |
X |
- ^ |
т |
|
( г ) - |
|
|
(3 -26) |
|
|
|
|
С=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Допустим, |
что |
|
и |
а > (0 |
на |
интервале |
( |
t , |
) |
|
постоянны, , т . |
е . о)£ {t) |
- |
сое |
п |
со i t ) |
= cj |
. |
При |
|
|
этих условиях |
периоды работы будут |
иметь |
экспоненциальное |
|
||||||
распределение
- cot
P { T i ' < t } = l - e |
. |
(3.27) |
Из формулы (3 .26) следует, что периоды восстановления имеют распре деление
м
V , U ) = V ( 0 • |
(3 .2 8 ) |
l=i
Принимая во внимание характеристики рассматриваемого процесса,
определим критерии надежности данной системы Математические ожидания времени работы и времени восстановле
ния системы соответственно равны
|
о |
|
(3. 29) |
|
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
|
$[i-V(0]dt |
N |
|
|
т |
е*i |
(3 .3 0 ) |
||
|
о |
|
||
Тогда функция готовности на данном интервале времени опреде |
||||
ляется формулой |
т' |
|
|
|
К г |
У |
(3 .3 1 ) |
||
Т ' + f " |
* |
|||
Те |
||||
|
|
1 + ^ |
||
e=i
Пусть имеется система многократного действия, которая во время восстановления элемента не выключается.При этом отказы и восстанов ления элемента не влияют на ресурсы надежности других элементов.
Поток отказов и восстановлений этой системы есть сумма N незави симых процессов восстановления с конечным временем восстановления [7],
51
основной характеристикой надежности данной системы является
#нкция готовности. Для определения щункции готовности |
системы r( t ) |
|||||||||||
рассмотрим |
в момент |
t |
случайные |
величины |
S { ( t ) |
(;= |
/,z , ..., n ). |
|||||
|
1 , |
если |
|
г - ж |
элемент |
исправен |
|
|
(3 .3 2 ) |
|||
|
|
|
|
ь - Й элемент |
|
|
|
|
|
|||
|
0 , |
если |
|
неисправен |
|
|
|
|||||
Вероятность |
того, что |
i |
- |
й элемент в момент |
t |
исправен равна |
||||||
|
P { S i W = l } = Гг ( t ) , |
|
|
|
|
|
(3 .3 3 ) |
|||||
а вероятность того, что он неисправен равна |
|
|
|
|
|
|||||||
|
P { S i ( 0 = o } |
= £ ( 0 |
= |
1 - Г ; ( О - |
|
|
|
(3 -.34> |
||||
Введем в рассмотрение ф/нкдаю |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
S ( t ) = s , ( t ) |
s z (t) |
... S „ ( t ) |
= п S t i t ) |
, |
|
|
(3 .35) |
|||||
|
|
|
|
|
|
г-1 |
|
t |
|
|
|
|
принимающую значения: |
1 ) 1 , если |
в момент |
система |
исправна; |
||||||||
2) 0 , если она неисправна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как случайные величины 5,-(О по условию независимы, |
то |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
(3.36) |
ra) = P{stt) = i} = Ms,(t)-MSz(t)...Ms„(t) = Пгдо . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г-1 |
|
|
|
При стационарном потоке отказов и восстановлений системы функция
готовности определяется |
формулой |
|
|
|
|
|
н |
/V |
f / |
НГ = й т Г ( t) |
= tu n |
п Д С О |
= п |
(3.37) |
f->оо |
00 |
t=i |
1=1 |
Т{ + Д |
1 функция готовности системы выражается также формулой
т
(3 .3 8 )
Кг =
т ‘ + т