Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 92
Скачиваний: 0
41
Отсюда
t
• • * , ( * ) - М [ $ ( 0 ] - $ а ( г ) с 1г . |
(2.52) |
о |
|
Средняя частота отказов может быть найдена статистически по резуль татам испытаний. Зная среднюю частоту отказов, можно определить число возможных отказов однотипных элементов данного устрой ства. Кроме то го функция й >(т) позволяет вычислить необходимое число элементов
для нормальной работы устройства в течение времени t .
В связи с этим, средняя частота отказов используется в качестве критерия надежности восстанавливаемых устройств.
|
Г Л А В А |
П |
КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ |
||
§ 3 . Надежность |
систем однократного действия |
|
I» Структурная модель |
системы. |
По своему назначений системы |
автоматического управления могут быть разделены на два вида: систе мы однократного действия и системы многократного действия. В связи с усложнением задач автоматического управления становятся все более сложными и системы управления. В то не время, чем сложнее система, тем более вероятны ее отказы вследствие отказов отдельных элементов. Поэтому возникает необходимость обеспечения высокой надежности слож ных автоматических систем. Наиболее эффективными методами повышения надежности систем являются резервирование и использование систем встроенного контроля [27] .
Если рассматривать автоматическую систему в целом, не расчленяя на элементы, то ее надежность мокше определить-на основании критери ев , изложенных в первой главе. Однако такой способ определения ха рактеристик надежности системы не позволяет установить связь между элементами и их влиянием на работу системы.
Поэтому проведем исследование функциональной связи в множестве элементов, образующих в своей совокупности структуру системы. Затем на основе анализа функциональной структуры системы, определим ее ха рактеристики надежности.
2 . Надежность системы при последовательном соединении ее эле ментов. Пусть имеется система однократного действия, состоящая из N элементов. Будем считать, что структура системы, и условия ее работы определены полностью. Каждый элемент данной системы может находиться либо в исправном состоянии, либо в состоянии отказа. Кроме того по лагаем, что известны законы распределения и характер вбзникновенвд отказов элементов.
Предположим, что элементы системы отказывают независимо друт от друга и вероятности отказа их за время t соответственно равны
Исходя из сделанных предположений, изложим способ построения критериев надежности рассматриваемой системы.
Пусть случайная величина n ( t ) |
представляет собой число отка |
||
завших элементов за время |
{ О , t |
)'. Тогда, пользуясь понятием |
|
производящей функции, найдем вероятность |
наступления точно /С от |
||
казов элементов системы за |
время ( |
О , t |
) . Производящая функция, |
случайной величины rt i t ) |
выражается формулой |
||
Ш ) ы
= p [ P c ( 0 + Z ? < ( t ) ] = f l [ j + $ c ( ( ) ( z - f ) ] l-l
или
N |
A ■ |
Ш А =п [i+4‘W(z-o] - z
i - i |
К-О |
(з. L)
(3 .2 )
гдef/vCtyt) ~ производящая функция случайной величины n ( i ) ,
Р;Щ = /-${(*) »
Зная производящую функцию У * ( t , l ) |
, |
найдем вероятность |
отказа |
|||||||
точно |
К элементов |
системы |
за время ( 0 |
, |
Ь ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( К ) |
(3 .3 ) |
|
/>к « ) - Р { г Ш ) = к } = Р „>Л ( t ) = ~ p j n\ t , c ) , |
|||||||||
где f ^ ' L)( t>°) |
~ |
значение производной |
|
|
|
|
||||
d K& |
( t,z) |
з |
точке |
Z - О |
.И з выражения |
(3 . 2) |
следует, что |
|
||
|
zг Kк |
|
||||||||
d |
|
|
.. |
|
ы |
|
|
|
|
|
|
У „ ( О = П |
+ р - ( 0 ] = 2 Р » , я ( Р |
• |
(3 .4) |
||||||
|
|
|
i^i |
|
It-о |
|
|
|
|
|
В частном случае, когда все |
элементы системы имеют одинаковую надеж |
|||||||||
ность p : ( t ) - p ( i ) |
и |
(t}~ Cj(t) , производящая функция обращается |
||||||||
44
в |
N |
- ю степень бинома [p ( f ) +Xytt)] |
, т . е . |
|
|
||||||
|
% |
( о |
о |
= [ р м '+ Z ^ c o j “= Y L C " |
|
|
( 3 *5) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
/С-0 |
|
|
|
|
|
Надежность системы определяется прежде в сего надежностью и |
||||||||||
числом |
ее |
составны х элементов. При этом |
степень влияния каждого эле |
||||||||
мента на надежность системы определяется |
способом соединения |
элемен |
|||||||||
т о в . Рассмотрим |
систему в се |
элементы |
которой соединены |
последова |
|||||||
тельно |
в |
смысле |
надежности, |
т . е . отказ каждого элемента |
вызывает |
||||||
отказ |
всей системы . Так как элементы независимы в смысле надежности, |
||||||||||
то |
функция надежности системы |
P i t ) |
равна вероятности т о г о , |
что з а |
|||||||
время |
t |
не |
откажет ни один |
элемент, т . е . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
Р ( t) = Р { л ( 0 * о } = А О К . . - Д ( 0 = Г 1 P i ( * ) • |
( 3 . 6 ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
i-i |
|
|
Выведем формулу для определения интенсивности отказов системы
A C t ) ч ер ез интенсивности отк азов Л : Ct) ее элементов.
Согласно ( 3 . 6 ) имёем
|
|
|
N |
|
/V |
|
|
|
|
I n P i t ) = |
In |
n P i ( t ) - ^ |
trv p i ( t ) . |
|
|||
Отсюда |
|
|
i--< |
|
i =7* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимая |
по определению |
A(t) |
d |
U |
Pit) |
и учитывая. |
|
|
|
|
|
|
cit |
|
|
|
|
что |
= ----- тт tn- |
P ; i t ) |
, получим |
|
|
|
||
|
d t |
|
|
ы |
|
|
|
|
|
A ( t ) = ^ a - ( 0 . |
1 |
( 3 . 7 ) |
|||||
|
|
|
|
i - i |
|
|
|
|
Таким образом , интенсивность отказов системы при последователь ном соединении элементов равна су ш е их интенсивностей отк азо в . Это свой ство критерия Л С О явля ется необходимым и достаточным
45
признаком последовательного соединения элементов в системе.
Принимая функцию Л ( t ) в качестве основной расчетной формулы, выведем формулы для определения других критериев надежности системы.
Функция надежности системы равна |
|
|
|
|
|||
- J |
' A U O d l |
|
- j A W d t |
|
|
|
|
Р ( 0 = € |
= в |
|
|
|
(3 .8 ) |
||
Вероятность отказа системы с учетом |
(3 .3 ) и |
(3 .4 ) |
определяется |
||||
следующей формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
- j h W d U |
|
||
Q ( 0 = p { n ( t ) > ' t } = l - P ( t ) = / - £ |
* |
. |
(3 .9 ) |
||||
Принимая во внимание формулу ( 3 . 9 ) , |
|
определим Л И ) |
- частоту |
отка |
|||
зов системы |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛР) = Q ( t ) = Л ( 0 6 |
. |
|
|
( з л о ) |
|||
На основании формул (3 . 9 ) и (3,10) определим функцию ресурса |
|||||||
надежности системы |
|
|
|
|
|
|
|
J b ( t ) = |
J ( t ) |
t |
л с о |
|
|
|
( 3 .I I ) |
act) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e ° |
|
- |
1 |
|
|
|
' 3 , Надежность системы при параллельном соединении элементов. Пусть имеется система, у которой элементы соединены параллельно в смысле надежности. При этой функциональной структуре отказ системы произойдет только в том случае, если откажут все ее элементы.
46
Тогда вероятность отказа системы ( 1 (f) за время t определяется формулой
Выведем формулу для определения функции ресурса надежности системы Л ( О по известным функциям ресурсов надежностей J>l (t) ее элементов. Согласно (3 .1 2 ) имеем
N
In Q(t)
Отсвда находим
(3 .1 3 )
, получим
N
(3. 14)
Следовательно, при параллельном соединении элементов их функ ции ресурсов недежностей складываются. Это свойство является харак теристическим, т . е . , если оно выполняется для системы, то система имеет параллельное соединение элементов [321 .
Если известна функция Jb ( t ) , то через нее можно определить другие критерии надежности системы.
Вероятность отказа системы равна
t
Q ( t ) = e |
(3.15) |
Функция надежности системы выражается формулой
-J ЛЮ dV
p(t) = P{n(t)i/V-<} |
t |
(3.16) |
47
Принимая во внимание формулу ( 3 . 1 5 ) , определим частоту отказов этой системы
|
|
|
|
|
|
|
|
~$Л(г)с1г |
|
|
|
J it) |
= Gt'(t) |
=d>(t) е |
г |
. |
(з.17) |
||||
Исходя из |
формул (3 .1 6 ) |
и |
( 3 . 1 7 ) , |
определим |
интенсивность |
отказов |
||||
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
= |
J i t ) |
|
M t ) |
|
(3 .1 8 ) |
||
|
|
Pit) |
ею |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
J A J ) d ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
( |
- |
i |
|
Из формул (3 .1 7 ) |
и |
(3 .1 8 ) |
вытекает следующая зависимость между |
|||||||
функциями J i t ) |
, |
A i t ) |
и |
J > ( t ) |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
_ |
|
i |
+ |
1 |
|
|
(3 .1 9 ) |
|
J i t ) |
Ait) |
Л И ) |
|
|
|||||
Согласно |
(3 .1 5 ) |
и (3 .1 8 ) |
следует, |
что имеет место еще одна зависи |
||||||
мость между критериями надежности |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
AML = |
M L . |
|
(3.20) |
||||
|
|
|
«О) |
|
P(t) |
|
|
|
||
Две последние формулы могут быть использованы для контроля вычислений.
При расчете надежности автоматических систем на практике при меняются наряду с указанными критериями и статистические оценки. Необходимость получения этих оценок вызывается тем, что при перво начальном расчете надежности мы располагаем недостаточными сведения ми об условиях и режимах работы системы.
4 . Надежность системы многократного действия. Автоматические системы многократного действия характеризуются тем, что их элемен ты после каждого отказа восстанавливаются. Процесс восстановления указанных систем относится в основном к отказам, происходящим в период работы.
П^и изучении свойств системы многократного действия проводят анализ возможных состояний. Из всех возможных состояний, в которых