Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 97

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

57

 

Объединяя системы неравенств

( 4 . 2 2 ) и ( 4 . 2 3 ) , находим

 

П

 

 

51 ~£i ^ (*=*>т ) ■

(4 .2 4)

 

 

V

\

 

На основании (4 .1 8 ) и (4 . 24)

подучим

 

 

 

(4 . 25)

Определение, Совокупность уравнений, у которых неизвестные находятся под знаком абсолютной величины, называется системой мо­ дулярных уравнений.

Рассмотрим теперь смешанную систему, состоящую из х уравне­ ний и ( m - л ) двойных неравенств вида

а

 

п

>

(4 .2 6)

 

 

 

Представим (4.26) в виде

системы двойных линейных неравенств

 

 

п

 

 

 

а

 

(4 .2 7)

 

 

 

 

 

J

 

 

Преобразуя систему

(4.27) с учетом принятых обозначений

/ г-

и

, получаем

 

 

(4 . 28)

58

Пусть дана система

п

модулярных неравенств

с

п

переменными

 

 

 

 

 

 

- - Ь 6 h i

(

 

)

 

 

 

(4 .2 9 )

 

 

 

/='

 

 

 

 

 

 

 

выпуклым множеством

Множество всех решений этой системы является

в

rv - мерном пространстве.

Обозначим через

!Л\

ш М -

множества

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

решений неравенств :

 

 

 

 

^

 

и

^

 

Cty

 

6

^г + /^‘ '

 

 

 

 

h

i

 

 

 

 

г

1

 

 

 

 

Тогда множество решений

-

го неравенства

А<j

системы

(4 .2 9 )

можно представить в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M i

=

М •П М {

( t -

i , « ) .

 

 

 

 

 

<4*3°)

Принимая во внимание

( 4 .3 0 ) ,

получаем множество

М

всех

решений

системы

(4 .2 9 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М =Л M i

=Л ( M

i

Л Mi)

( / = / , л ) .

 

 

 

(4 .3 1 )

 

 

i

 

 

£

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая

( 4 .3 0 ) , найдем дополнение множества

M t-

 

 

 

 

 

 

М { = М ’4 и М -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4*:

где

М ;

* С M i

- символ дополнения множества.

 

 

 

 

 

На основании принципа двойственности из

( 4 .3 0 )

и

(4 .3 1 )

находим

дополнение множества

всех

решений системы (4 .2 9 )

 

 

 

 

 

 

М =

С /}M i -U (Mi UM- )

(t*b* )

•

 

(4 .3 3 )

 

 

 

1

 

i

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

множество

всех

решений системы

 

 

 

 

 

 

 

 

Z a v xj

-

 

а ,

 

' -

1.n)

 

 

 

(4 .3 4 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

является дополнением множества всех решений системы

( 4 .2 9 ) .

 

Иногда в приложениях неравенств

не

требуется

находить множест­

во всех решений, а достаточно лишь выделить некоторое непустое под­ множество этого множества[ 2 ] .

§ 5 . Метод экстремальных уравнений

I . Системы экстремальных уравнений. Перейдем к обоснованию

метода экстремальных уравнений для решения систем двойных линейных

неравенств [б б ].

 

 

п

 

 

 

 

 

п пе­

Пусть дана

система

 

двойных линейных неравенств с

ременными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п.

 

 

 

 

 

 

 

 

С- ±

Л у

* Si

 

.

( 5 . 1 )

Предположим, что определитель системы ( 5 . 1 )

отличен от дуля.

Требуется найти множество решений, ограниченных экстремальными

значениями переменных при заданных границах неравенств.

 

Принимая во внимание

( 4 . 3 ) , переменную

Xj

можно представить

в следующем виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ccj = Zj + Л ( Z-

~ Zj) ,

€ & Л- ^ 1

^

( 5 . 2 )

где

и

-

неизвестные точные границы

ocj .

 

Учитывая

( 4 . 1 4 )

и

( 5 . 2 ) , получаем

п

 

 

 

 

 

 

 

/г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 5 . 3 )

Согласно

( 4 . 1 4 )

и

( 5 . 3 )

имеем

 

 

 

 

 

j.<<X i , . . . , X

a )

=

C i + & ( l > i - C i ) .

 

( 5 . 4 )

Из выражений ( 5 . 3 )

и ( 5 . 4 )

следует,

что

 

 

 

£. V ' * х X

аЧ Ъ~гР ■ * +

 

‘ О .

(5.5)

 

 

г >

'

Г - 1

60

На основании ( 5 ,5 ) получим системы уравнений

г , +

 

 

+

. . . + « ^ n = С 1 ,

« i f

Sf +

« г г

+

 

-+■ 0^2,П £ п

~

Сг ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5 . 6)

« л< 2| +

a n3, z z +

,,

. . +

 

&п гг^п.

~~ ^ /г

&■ 71

+ «/г

+ .

 

 

 

« /п % п ~ ^ 1 ’

« г / +

 

a i z Zz +

.

 

+

« г п

^ п. ~

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5 . 7)

&п,

2 ,

+

CLnz

+

.

. .

+ О. лгь Ъ п

-

ё

Определение. Уравнения» в которых неизвестными являются минималыше или максимальные значения переменных, называются экстре­

мальными [ 6 2 J .

 

 

Решая системы экстремальных уравнений ( 5 . 6 )

и ( 5 . 7 ) , находим

2 ; =

М <! с 0 = д

(5 . 8)

Д

 

 

 

 

*. = J - д. (ел = -=i- ,

(5 . 9)

 

 

 

2J

д ^ 1

д

 

где

/

и

«

определители»

получаемые из Д заменой

| -го

А ^

А^ -

столбца

свободными членами.

 

 

 

Сравнивая выражения ( 5 . 8 ) и

( 5 . 9 ) , получаем

 

Z j - t j - - + ± ( - 6 < - с Щ - - ± ^ - с д Л / г ,

(5. 10)

V

-j -

л

-'"V .

 

Z=i

z=i

Смотрите также файлы