Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf

Тогда на основании теоремы Больцано -

Коши функция

)

принимает

промежуточное значение

у в в некоторой точке

t

=* т

интервала

[о , т ]

, т .е .

у it ' ) < у 0 <

где у 0 = у \ г ) ,

t ' < r

< t "

или

y ( i ' ) < у ( Ъ ) < у i t " )

(6 ,3 9 )

Применяя теорему о среднем значении функции, находим

т

f ( t ) dt ;

o < f < Т.

(6 .4 0 )

Принимая во

внимание

(6 .3 9 ) и (6 ,4 0 ),

получаем

y( i ' ) cy( f ) <y( . t " ) ,

t' <T<t" .

(6 .4 1 )

Преобразуем неравенство

(6 .2 1 ) с учетом (6 ,3 8 )

и

(6 .4 1 ) .

Так как

iw i Г а '(т ) - v i O ]

t e [ o ,T ] , (6 .4 2 )

J i f i T

B i t i T

то

A % T ) - y ( t ‘) i y ( t ) i ^ ( T ) - y ( t u) .

(6 .4 3 )

Отсюда следует,

что

A'(T)

-

у O f) < y ( t )

$ A"(T)~ y ( T ) .

(6 .4 4 )

При этом условии системы экстремальных уравнений

(6 .2 4 )

и (6 .2 5 )

можно записать в следующем виде

г.У'ДМ +

гл%и,) +.. . +гкух({,) =Ar)~j(f)">

г,%Иь) + г*^0*) + . . . + г* % а я) = *'(т)-у(т)г [(6>45)

гД,ГД)

+ . ■ .+ гкШ*к.)

= Л т ) - у ( т )

У') ( t,)

+

t s

+ ,

*■

•+ Я/сУкО,)

=<С"(Т)- y ( T ) }

* M

U )

+ .

■+ ZK% (t2) = c C " ( T ) - y ( f ) i

(6.46)

2 , ^ ( 1 J

+Z2 % (- U )

■+ %K.У/с(+я)

=

- y

( f ) .

По теореме Крамера находим

* (6 .4 7 )

г - 1

/С

•

2 г-=^{Лт)-у(т)}

(6 .4 8 )

Учитывая

(6 .3 2 ),

(6 .33)

Уг/

,

ч

,

и дополнительные условия Jh; (т) jb{ (Т)

получаем

/с

л

5 K

(T )' f

C=f))

2

J

V

, если

8

=

,

A w -\

l-i

</

£

(6 .4 9 )

’

£ { / ( Т ) "

J ( f )} j

,

если

e

^

I

</='

'

■J {/(T) -

£

. если

^

у(f)} ^

U f a

J y f

(6 .5 0 )

a '(t; h

■ J {^ '(т ) -

'

*

Jk ij

, если

*.

У ( f ) } £

iiy n d ^ S iy n X

r

i

J

Преобразуя выражение ( 6 .3 0 ) ,

получаем

—

- -Ж- f . J v ■

(6 .5 1 )

Ar) - A t)

6

jri

1

Принимая во внимание формулы (6 .47) и (6 .4 8 ),

имеем

Zi

_

oC'(T)~ f( f)

(6 .5 2 )

*i

ci"(T) - y(f)