Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf

разное нулю, находим

с

1

^

Л

Ay ,

-%-Ат)

J у •если

Ч'п &siif nX

Н

J z‘

(6.58)

а

К-

•: ,если

Ы у п

- ^

J

аС'(Т)

А

fb i Ы ^ п 2 _ Jij

J -7

'

d'

’

*

d i /

’ еоли

^ Т 1 ® =

J

*

^ ■ (T ) =

(6 .5 9 )

л:

_

л

г А т )

X

• если

'-fy * $ i s$

n Щ ‘Яу

J - r

'

При-условии, что у { т ) = о

формулы (6 .5 3 ) и (6 .5 5 )

можно записать

в следующем виде

п.

к.

Z

*<

Z

*i

г -1

(6 .6 0 )

«С'(Г )

Я '17*)

Z

i *

i

Л ^

!

г=/

(6 .6 1 )

Z U i l

к

М

i »/

Если |<^'(т)| = |я"(т)|

»

т0

23

формул ( 6 .5 6 ), (6 .5 7 )

и (6 .6 1 )

следует

Iе

12tI = U i i

и

z

l Z i! =

ZZ l * i l •

(6 ‘ 62)

l

правно, если случайная функция y ( t )

находится

в

области

SO

(фа­

зового пространства в промежутке времени [ о , т ]

При этом условии функция надежности

Р (Т ) выражается формулой

Р(т) =Р{^'(Т) « y i t u , c ' ( T ) ; .

o - b t i т } .

(6 .6 3 )

Подставляя

в

форгдуду

(6 .6 3 )

вместо

^ ( £ ) ее

значение из

(6 .1 7 ),

получаем

Р ( т ) = р { 0б '( т ) « у (с ) +

*

А ( т ) ; о

1

(6 .6 4 )

*’=У

Р ( т ) = p

{ ei ' ( r ) - y ( t ) 4

V i f i ( t ) 4 , o C "(т) - у ( * ) ; 0 6 f ‘ Г} . (6.65)

i-1

Из формул

(6 .2 0 ) и (6 .6 5 )

следует,

что

Р(Т)= P { v C ' ( T ) - g ( t ) 4

tr}.

(6.66)

Учитывая формулу (6 .6 6 ) и неравенство ( 6 .4 2 ),

находим оценку функ­

ции надежности

Р (Т ) = Р

5u/i [eC '(7)-y(t)]

*

j ( t )

in } [А т

-.(6.67)

-0 4 *‘ Т

O i f i T

На основании

(6 .4 4 )

ж (6 .6 7 )

имеем

Р(т)

шр ^ Ч т ) -

у ( г ) *

у (*) 4 <C*(T)- f i r ) ;

O i t

n

} .

(6 .6 8 )

Если область

Ю

фазового пространства

фиксирована,

то неравен'

стзу (6 .4 4 )

соответствует

некоторая область

W

в

К

- мерном

А ( Т ) £ V, ^ / , ' ( т)

/ г{т) i V*ifil(r)

(6.69)

А ' ( т )

* v * £Х с г ) .

Так как данная область

V

является выпуклой,

то координаты лю­

бой ее точки определяются формулой

г *

* д 1 ^

,>+ л г ^/2>+

. . . + л

Л/^

/" )/

(6 .7 0 )

ы

- есть

%

-

я координата

m

- ой экстремальной

точки,

где V--

/V

m*i

( i = fA

h

N ~Z K -

Учитывая

(6 .6 8 )

и ( 6 .6 9 ) , функцию надежности можно представить в

. следующем ввде

Р(т) = р{сс'(т) - y(T) £ ytt) 4*c"(T) - у if); o±t±r} =

= p { $ (T )t V,<:J>“(T),Jbl(T)

V i * j £ ( T ) , J b i ( T H

V* 4

j x"(T)} .

(6 .7 1 )

Выражая функцию надежности через

совместную плотность распределения

вероятностей

случайных величин

V ,, у а , . . . ,

V *

, получаем

/ ( г ) ф ) £ с г )

Р ( Т )

= |

|

• •

г * )

dv> </%... J i b .

(6 .7 2 )

/(т)Л'^г) / '(г)

Если случайные* величины

V, , У г

,

f

V к

распределены по нормаль­

ному закону, то

их совместная плотность распределения вероятностей

выражается формулой

р ц , р - г , . . . ,

глЛ) = .

Г

Л

„ г 1

■txfk f i z # ] - (6 .7 3 )

(**)

ПА

83

Пусть

область

5Э

задается неравенством

6 y ( i )

i. оСЧт)

при

t

e [

o ,

Т]

;

где

t C ' W b i n J y C t )

и

*С"(Т)

«

O i i ± T

y L t )

O i t i T

Подставляя в

это

неравенство

вместо

y ( t )

ее

значение из

( 7 .3 ) ,

подучим

вС,(*Г) £ и , ( О

+ V « M O

** б " С Т )

.

(7 .4 )

. Отсюда, считая

% ( t )

ф О

,

находим границы для

V

Ш

t бСЛИ

(? . 5)

У, О )

У; (О

w o

еодн

(7 .6 )

Обозначим границы

V

через

$ '( Т)

и 3 " ( Т )

,

Тогда

У",(О

,

если

,

/ ' ( г )

=

-

(7 .7 )

d

u(T ) - u .i(t)

, если

f i ( . t ) < 0

0£,t(.T

^tit)

Г

£ V

У,(<)

е о и

S W ) > «

0 * * * 7

/ о т

=

(7 .8 )

tz*/

если

J < О

o « * « r

УП^>

r