Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 107
Скачиваний: 0
90
Верхняя граница f>Хт) |
не возрастает, а нижняя граница |
||||||
не убывает# При этом считаем, что |
f i ‘( r ) < J> "(т) . |
|
|||||
Условие безотказности системы в течение времени |
[ о , т ] |
выража |
|||||
ется неравенством |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
J ' ( T ) 6 V * Ж '( Т ) • |
|
(7 .9 ) |
|||
Будем считать, |
что закон распределения случайной величины V |
||||||
известен, |
т . е . P (.V < |
v ) = F (v ) . |
|
|
|
||
Для оценки надежности линейной системы принимается вероятность |
|||||||
безотказной работы |
Р ( Т ) , |
определяемая равенством |
|
||||
Р(т) = Р { Ат) 4 у (t)44 Ь ); о |
* т} = р ( / { Т ) |
i\f i/ ( Т ) } . (7 .10) |
|||||
Из этого выражения следует, что система работает исправно, если |
|||||||
случайная |
величина |
V |
находится в полосе, определяемой неравенст |
||||
вом (7 .9 ). |
При этом |
y ( t ) |
находится в заданной полосе [54] . |
||||
2 . Критерии надежности линейных управляемых систем.
Пусть имеется некоторая линейная управляемая система, описы ваемая дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
d ly ( О |
dy(t) |
+ CLt y ( t ) = X ( t ) . |
(7 « I I ) |
+ CLj |
d t |
||
d i z |
|
|
Предположим, что входной сигнал x ( t ) равен сумме полезного сигнала и помехи
Задаем начальные условия у ( ° ) ~ у о и у ( о ) = Тогда рвение уравнения ( 7 .I I ) имеет вид
Допустим, что случайная величина V имеет нормальное распре деление, Тогда плотность вероятности случайной величины V выра жается формулой
I
1 |
( » - М У ) г Л |
(7 .1 2 ) |
|
fZ f& v , |
J |
||
|
91
Вероятность безотказной работы системы в течение времени [ о , т ) будет равна
№ |
(У - U v f |
г |
, |
Р(Т) = |
|
|
( 7 . 1 3 ) |
V |
|
|
|
Jb‘(T) |
|
|
|
Вероятность отказа |
системы з а |
время [ о , т ] |
определяется следухь |
щей формулой |
|
|
|
Q{t ) = i - Р(т) = / + 9 |
/ Ы -M V - o p |
( 7 . 1 4 ) |
|
|
|
<5V |
|
Для определения интенсивности отказов данной системы воспользуемся вырахением
■ Л (г) |
d In |
Л г у т |
] - < р |
/ ( т ) - М У |
( 7 . 1 5 ) |
|
d r |
|
|
6 V |
|
Рассмотрим теперь частный вид дифференциального уравнения ( 7 , 1 1 ) ,
описывающего процесс в линейной управляемой системе, когда на ее вход поступает сигнал
х ( 0 |
• u ( t ) |
+ У У Ш - А И л 0 )t + V e ~ Ki. |
( 7 . 1 6 ) |
||
В этом случае дифференциальное уравнение |
( 7 . I I ) приобретает следую |
||||
щий вид |
|
|
|
|
|
d * y m |
|
^ у ( * ) |
- Kt |
|
|
м |
Г |
+ а ' |
|
4 * * a t + v e ... |
( 7 . i 7 ) |
Вуден считать, что характеристическое уравнение имеет корня |
|||||
к, ф к , |
/сг ^ /с |
и дискриминант вида |
>0 . |
|
|
sz
Тогда общим решением дифференциального уравнения ( 7 . 1 7 ) будет
y ( t ) = y ( i ) + Y ( t ) = c V 6 " A^ r ^ X,<+ Сл£ Лл* +
|
|
|
|
|
4 j |
t ccs |
Git + Jb, bln |
Git f |
|
|
|
|
( 7 . 1 8 ) |
|
гд е |
У .( О - |
частное решение неоднородного уравнения |
( 7 . 1 7 ) , |
кото |
||||||||||
рое можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
У ( { ) |
|
-Kt |
COS Oit |
+ Jd, |
. |
■, |
r |
|
|
||
|
|
|
= С VC |
■+ j . , |
Ьш Git |
|
|
|||||||
y ( t ) - C f e |
'+Сг С * |
- общее решение соответствующего |
однород |
|||||||||||
ного уравнения. Предположим, что математическое ожидание слу |
|
|||||||||||||
чайной величины |
V |
равно нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Тогда математическое ожидание выходного сигнала будет равно |
|||||||||||||
|
М (у ) |
= C1€ /f't+ Сл.в |
Git + Л , Sin Git |
. |
( 7 . 1 9 ) |
|||||||||
|
Пусть область |
Ю , определяющая исправную работу |
системы, |
|||||||||||
задается |
неравенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
М ( у )-аС <- у ( 0 |
6 М ( у ) + oi |
|
|
|
( 7 . 2 0 ) |
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-сС |
|
6 et , |
|
|
|
|
( 7 . 2 1 ) |
||
где |
еС |
> 0 |
- |
постоянная . |
Подставляя общее решение дифференциально |
|||||||||
г о |
уравнения |
( 7 . 1 7 ) |
в это |
неравенство, |
получаем |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
_ JL & с М е ~ Л* 4 сС . |
|
|
|
|
( 7 . 2 2 ) |
||||
Найдем допустимые границы |
V . |
Если |
с > О |
, то |
из |
( 7 . 2 2 ) |
|
|||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ас . е*6v |
fit |
|
|
|
|
( 7 . 2 3 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
93
Отсюда видим, что при к > О |
полоса |
изменения |
V с течением |
времени расширяется, а при |
к < О - |
сужается. |
Наконец, если к=о} |
то полоса имеет постоянную ширину |
|
|
|
--£* v * соС |
|
(7 .24) |
|
Если с < О то из ( 7 . 2 2 ) следует
Kt
£ V S-
Обозначим допустимые границы изменения V
причем j 6 ( t ) < J> \ т ) . При условии, что
f
Sup o<t±T
J > b ) = -<
o & t * T
( 7 . 2 5 )
через j3'(T) иJ i'( т ) ,
к. ф о |
имеем |
если |
С < О , |
если |
C >0 . |
В том случае, |
когда |
/с = о полргаеы |
|
|||
|
|
|
|
г |
|
С < О , |
|
|
|
|
|
, если |
|
|
j |
Xt ) |
= |
н |
|
|
|
|
|
|
- -£■ , если |
С >0 . |
|
Аналогично задается |
верхняя граница J$"(T) . |
|||||
Если случайная величина V |
находится в полосе |
|||||
Jb 'iT ) i V - |
jS |
' ( T ) в |
течение |
времени |
[ о , т ] , то выходной |
|
сигнал соответственно находится в |
полосе, удовлетворяющей неравен |
ству ( 7 . 2 0 ) . |
|
В этом случае будем считать, |
что система работает безотказно |
в течение времени [ о , т ] . |
|