Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 102
Скачиваний: 0
94
В силу предположения о нормальном законе распределения слу чайно! величины V ее плотность вероятности выражается формулой
|
|
ж 1 & |
в „ |
z |
e t ) ■ |
|
С 7.26) |
|
|
|
|
||||
Вероятность безотказно! работы системы в течение врёиеяж [о,Т] |
|||||||
будет равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
J i b ) |
i |
|
|
: ( |
|
, я . |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
* № |
|
|
|
|
|
Вероятность |
отказа системы з а время |
[ 0 , Т ] |
определяется |
||||
следующей форцуЛой |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= j+ Яэ[;^ |
|
] |
• |
w-281 |
Принимая во вшшание формулы ( 7 . 2 6 ) |
и |
( 7 . 2 7 ) , |
вычислим интен |
||||
сивность отказов |
система |
|
|
|
|
|
|
Л ( Т ) = - |
|
|
|
|
|
(7 .2 9 ) |
|
Рассмотренный метод оценки надежности по мнению автора,
является весьма перспективная, так как позволяет вычислять харак теристики надежности управляемых систем в динамических режайше р4| »
|
Г Л А В А Ш |
ИССЛЕДОВАНИЕ |
СОСТОЯНИЙ ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ |
§ 8 |
. <3ункция состояния системы |
J . Переходные вероятности» Линейная управляемая система в про |
|
цессе функционирования может находиться в различных состояниях под влиянием внешних и внутренних воздействий. Состояние линейной управ ляемой системы зависит от ее структуры и состояний элементов. Слож ная управляемая система содержит большое число элементов, поэтову
число ее возможных состояний может быть довольно большим. Но чем сложнее система, тем труднее выявить в ней причину отказа и обнару жить отказакшй элемент. Случайные отказы элементов, возникающие в управляемой системе, заранее предсказать затруднительно, так как им присуща некоторая неопределенность [3 9 ] .
В связи с этим возникает необходимость анализа надежности уп равляемой системы с учетом ее возможных состояний.
Рассмотрим линейную управляемую систему,которая в каждый дан ный момент времени может находиться в одном из фазовых состояний
Пусть состояние управляемой системы меняется в зависимости от времени и вмешательства случая. Предположим, что система в момент
Z находится в фазовом состоянии |
A i |
, а в последующий момент |
||
она перейдет |
в фазовое |
состояние |
с |
некоторой вероятностью |
■ P t j ( r , i ) » |
( l , i |
независимо от поведения система до момен |
||
та |
' |
|
|
|
Случайный процесс |
5 (1 ) , характеризующий изменение состояний |
|||
системы во времени называется цепью Маркова. Условные верюятности называются переходными вероятностями марковской цепи.
P i j |
= |
(8.1 ) |
•* |
96
Процесс изменения возможных состояний системы при переходе от одно го состояния к непосредственно следующему описыгается стохастичес кой матрицей переходных вероятностей
Л,
Pzi
Рх1
где О & p i j * i при всех
Р,г
А*
:.
^ ***
ги у
••- Р1К |
|
|
• ••Рвк. |
1 |
(8.2) |
|
|
|
• • ’ Ркк. |
|
|
к |
- 1 . |
|
и ^ p cj |
|
м
Зависимость между переходными вероятностями марковской цепи выра жается уравнением Колмогорова
|
|
|
tt |
|
|
|
|
h j ( т , О |
= г |
Р * |
(v>e ) P y |
<в >1) ; |
(8 *3) |
где t |
< в < t . |
|
|
|
|
|
2 . Вектор состояния |
системы. Пусть дана система, состоящая |
|||||
из W |
элементов Е,, E Z}. |
Е „ |
. Каждый элемент Е к данной систе |
|||
мы к моменту времени |
t |
может находиться в |
одном из двух |
состоя |
||
ний: исправном или неисправном. Будем считать, что все элементы системы отказывают независимо друг от друга. Вследствие отказа од ного или нескольких элементов система может остаться либо в исправ ном состоянии, либо перейти в неисправное состояние.
Переход элемента из исправного состояния в неисправное является однородным марковским процессом с двумя состояниями.
Обозначим |
через &к ( 0 |
случайную величину, |
характеризующую |
||
состояние Е к |
к моменту |
t |
|
|
|
|
|
если |
Ек |
исправен , |
(8 .4 ) |
|
|
если |
Е* |
отказал |
|
Наряду с этой величиной будем рассматривать другую случайную вели
чину Sxit) = 4-Sic( i ) , принимающую значения: |
0 |
, |
если Е к исправен и |
||
I , если Ё /с отказал. |
Кроме того, |
введем |
в рассмотрение случайную |
||
величину n ( t ) , тесно |
связанную с |
состоянием |
|
системы. |
|
Случайная величина n ( t ) |
равна числу элементов, приведенных к мо |
||||||||||||
менту |
t в |
неисправное |
состояние |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
к-1 |
|
|
|
(8 .5 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Яри этом условии число элементов, которые находятся в исправном |
|||||||||||||
состоянии до момента |
t |
будет равно 3(t)=A/-/i(t) . |
|
|
|
|
|
||||||
Если система |
состоит из |
N |
элементов, то ее состояние |
к моменту Ь |
|||||||||
определяется |
случайным вектором |
с N координатами |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
5 i t ) |
= |
|
|
|
• |
|
|
(8 *6) |
|
Вектор |
b { t ) |
, |
характеризующий |
состояние системы |
к моменту времени |
||||||||
t |
, |
называется вектором |
состояния. |
ы |
|
|
|
|
|||||
|
Состояние |
системы в |
целом характеризуется 2. |
|
векторами, |
ко |
|||||||
торые образуют два непересекающихся подмножества |
S , |
и |
S 0 таких, |
||||||||||
что S . U S . * |
S |
. Если состояние системы содержится |
в множестве |
S , , |
|||||||||
то |
система исправна, |
если же принадлежит множеству |
S о |
* то систе |
|||||||||
ма’ отказала.
Таким образом, состояние системы можно определить как функцию
состояний |
входящих в нее |
элементов. |
С этой целью каждому состоянию |
|||||
|
поставим |
в |
соответствие некоторую |
функцию ' f ( s ) , |
||||
называемую функцией состояния, |
функция состояния |
5) определяется |
||||||
следующим образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
угг> |
|
I , |
>если |
5 € |
S < |
|
(8 .7 ) |
|
|
О, |
если |
Г б |
S o |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данная функция характеризует структуру системы и определяет ее |
||||||||
состояние: |
если У (Ь )- I |
, |
то |
система исправна, если же 'J’(b ) -О , |
||||
то она отказала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
При параллельном соединении элементов системы ее функция |
||||||||
состояния |
выражается формулой |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
если |
b i t ) |
ъ i |
, |
(8.8) |
|
|
|
|
если |
S (t) |
- О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или- с учетом (8 .5 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
n i t ) |
£ /V |
, |
(8 .9 ) |
|
|
|
|
если |
n ( t ) - N . |
|||
|
|
|
|
|
||||
Если система имеет последовательное соединение элементов, то отказ системы определяется отказом одного элемента.
98
Исходя из |
этого условия, определим функцию состояния этой системы |
||
к моменту |
t |
|
|
|
если |
п ( { ) - О |
(8.10) |
|
если |
/i(t) =/ ' |
|
|
|
||
Таким образом, систему при последовательном соединении элемен тов можно рассматривать как один элемент с функцией надежности
Pit) = П/>К«).
к-t
§9 . Основные характеристики состояний управляемой системы
I . Математическое ожидание числа отказавших элементов. При исследовании состояний линейной управляемой системы широкое применение имеет случайная величина n ( i ) , принимающая целые неот рицательные значения. Исходя из описания структуры и возможных состояний системы, можно определить закон распределения указанной величины.
Найдем распределение случайной величины n i t ) для ранее рас смотренной модели системы с параллельным соединением элементов. Согласно (3 .3 ) получим распределение числа элементов n (t) , при веденных в неисправное состояние
/J/ra )= P {n (t) = t}= p [n (t)**}-P {/i(t-)!>/C +f}= £ / £ ( t c ) ( r :i '1'). (9 .1 )
Вкачестве основной характеристики состояния системы принима
ется математическое ожидание числа элементов, приведенных в не исправное состояние за время t . Для вычисления математического
ожидания случайной величины |
a (t) |
воспользуемся |
формулой |
||
|
M (n )= M [n (t)] = - £ f '( o ) , |
(9 .2 ) |
|||
где ¥(%) - |
логарифм характеристической функции n (t) |
||||
Характеристическая функция величины n(t) равна |
|
||||
|
м |
|
n |
|
,г |
J |
^ /Яг/ |
nt~1 |
|
(9 .3 ) |
|
|
|
||||
|
d |
« |
Л |
Я т ^ ) С 11 |
|
|
|
|
|
|
(9 .4 ) |