Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 103

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

99

Тогда

М ( л ) - 4 - ^ ( 0 ) ^

^ т ( 0 .

(9 .5 )

г

т - 1

 

Следовательно, математическое ожидание числа отказавших эле­

ментов за

время t равно сумме вероятностей перехода этих элемен­

тов в неисправное состояние,

2 .

Дисперсия числа элементов, приведенных в заданное состояние

Наряду с указанной характеристикой состояния системы введем в рас­

смотрение дисперсию случайного числа отказавших элементов.'На осно­

вании свойств характеристических функций очень просто можно найти

дисперсию

случайной величины п ( t )

Ю (п ) = £ ) [ п ( 0 }

(9 .6 )

Дифференцируя повторно (9 .4 ) и полагая £ - О , получаем

 

N

i t

 

 

р т и Щ т ( о е

(9 .7 )

 

[ Р т ( 0 + $ т с о е и ] я

т -1

 

Поэтоку

N

 

 

 

J D ( n )

= 2 1 P m W f r n U ) .

(9 .8 )

 

т - 1

 

3 . Энтропия состояний управляемой системы. Для описания состоя­ ний элементов и системы в целом, кроме выше перечисленных характе­ ристик, введем в рассмотрение энтропию системы. Необходимость вве­ дения этой характеристики вызвана тем, что в процессе работы управ­ ляемая система случайным образом может оказаться в том или ином состоянии.

Из теории информации известно, что степень неопределенности системы характеризуется числом ее возможных состояний и вероятностя­ ми этих состояний. Поскольку состояния системы и их вероятности с течением времени изменяются, то энтропию системы можно рассматривать как функцию времени.

ICO

Определение. Энтропия системы равна математическому ожиданию логарифма вероятности состояний системы, взятому с обратным знаком [41]

H (s) = -М£<ypK<it)^-

N

 

 

 

(*)

Д (О ,

 

с9.э)

где Н ( S ) - энтропия

системы, в о д

P c (t)~ логарифм вероятности

состояния к моменту

 

t .

 

 

 

 

 

 

Для удобства вычислений будем пользоваться специальной функ­

цией и таблицей ее

значений

£

( р )

г - р toy Р .

 

 

 

Тогда формула

(9 .9 )

примет следующий вид

 

 

 

 

 

 

,V

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 9 .1 0 )

 

 

л=/

 

 

 

а:-1

 

 

 

Если элементы системы меняют свои состояния независимо друг

от друга,

то по теореме сложения энтропий получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/V

 

 

 

H ( S ) - H [ s , ( 0 , . . . ,

ь л о ]

 

•

(9.П)

Согласно (9 ,1 0 ) энтропия состояний

отдельного элемента равна

Н ( S i )

Л

[ P i ( t >]+ Ч

 

= Ч[P iW ] + 2 [ 1 - P i СО]

.

^ Л 2 )

Подставляя

значение

НС S i)

в

выражение ( 9 . I I ) ,

получим

 

 

H C S ) = X h ( s <) = ^

 

L

 

 

=

 

 

i-1

 

 

г - 1

 

 

 

 

=

^

{ ? [ р , ч о )

+

г [ ( - , ° д ю ) } .

 

«.is)

Переход системы из исправного состояния.в неисправное является необратимым процессом. Этот процесс протекает в одном на­ правлении от менее вероятного состояния к более вероятное состоя­ нию. Возрастание энтропии свидетельствует об ухудшении качества системы [5 7 ].

Для вычисления энтропии системы, состоящей из зависимых эле­ ментов, применяется следующая формула

н ( S ) = Н

= H (s,) + H(Si/S,)+...+ H(S*/Sf,...,Sv.,), (9 .1 0

где энтропия состояния каждого последующего элемента определяется при условии, что состояния всех предыдущих элементов известны [ 5 ] .

Случайная величина п ( 1 ) , как характеристика состояния систе­ мы, до своей реализации обладает некоторой степенью неопределенности. В качестве меры неопределенности случайной величины n ( t ) можно рас­

сматривать также’ энтропию этой величины [18] .

Как известно, энтропия случайной величины является одной из числовы* характеристик ее закона распределения.

Следует отметить, что основные характернотики состояния систе­ мы тесно связаны с ее критериями надежности.

Все указанные выше характеристики состояния выражаются функцио­ нально через критерии надежности системы. Основные характеристики состояния системы могут быть использованы и для оценки надежности управляемой системы. При этом необходимо подчеркнуть, что при оцен­ ке надежности главную роль играют критерии надежности, а характе­ ристики состояния имеют вспомогательное значение.

§

10.

Состояния систем однократного и многократного действия

I .

Основше характеристики состояний систем

однократного дейст­

вия. Пусть

имеется система однократного действия,

состоящая из N

элементов.

Будем считать, что .структура системы и режим ее работы

известны нам полностью. Все элементы имеют одинаковую надежность т .е .

Р ;(0 ~ P (t) и соединены между собой параллельно. Предположим также, что отказы элементов данной системы являются независимыми.

Определим характеристики состояния рассматриваемой системы.

В силу сделанных выше допущений распределение числа элементов,

приведенных в

неисправное состояние, является

биномиальным

 

 

 

(Ю Л )

Оная распределение случайной величины n ( t ) ,

вычислим ее ма­

тематическое

ожидание по формуле (9 .2 )

 

 

 

N

 

( 10. 2)

 

 

 

 

п*о

 

 

Характеристическая функция величины П (t)

равна

 

 

а

, n

 

 

 

(1 0 .3 )

102

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

% ( t ) e

 

 

V/ ' ( * ) ” - j — ln J a ) = i / V -

и

 

(1 0 .4 )

 

 

az

J

 

 

p ( o + $ ( t ) e

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М ( л ) -

= N y U ) ~ A / [ i - p ( i j ] .

 

(1 0 .5 )

Для вычисления дисперсии числа отказавших элементов за время t

воспользуемся формулой ( 9 .6 ) .

Дифференцируя повторно

(10 .4)

и по­

лагая Z - О

 

, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

N p ( t ) ty(t)

C i l

 

(10. 6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ p ( t ) + q , ( t ) e u ] z

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

& ( n ) = -

f" (o ) =

N p ( O q ( t ) = N p (t )[l- p (t )].

( 1 0 . 7 )

Вы числим

теперь

энтропию числа элементов, приведенных в не­

и сп р а в н о е с о с т о я н и е за время

t

 

по формуле

(9 .9 )

 

 

*

 

 

 

 

 

-V

/

 

/I

н м — Z

 

р< «>typAo = -T .m ^ jrp"'<t>h-p(f>l *

tl=0

 

 

 

 

/с= о

 

 

 

А /!

ы-л

 

 

ZК - Г.

n \

Ы-tс

К

р

( t ) [ i - p

(О]

л! (л/-л)!

р (t)[h p O )] х

 

 

л!(л?-л)!

 

 

 

 

 

 

X

 

Л 7

+ ( а/ - А . ) 1л <! p ( t ) + к to p [ f -

 

 

 

 

л! (л/-л)!

Смотрите также файлы