Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 89

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

132

Полагая в

формуле (1 3 .6 )

,

получим дисперсию случайной

функции

y ( t )

 

 

 

 

 

 

 

 

i

t

 

 

 

 

a

f

f

 

 

& > ( t )

= У "

У "

]

]

^ U

•(13 .8)

 

j - t

IC=1

b„ t.

 

 

Следовательно,

зная

вероятностные характеристики воздействий и

весовую функцию линейной системы можно вычислить основные характе­ ристики точности.

2 . Вероятностная оценка точности по

энтропии.

Состояние управ­

ляемой системы в момент времени

t определяется ее

фазовым векто-

ром y ( t ) . Если фазовый вектор

находится

в области

■© , то состо­

яние системы считается исправным. При этом условии противоположное состояние системы считается неисправным. Координаты фазового векто­

ра

 

 

характеризуют текущее состояние системы в мо­

мент времени

€ .

 

 

 

 

 

 

Если

зафиксировать

значение аргумента

t

, то случайные функ-

ции

y<(t)}y i

( t ) у n.W становятся обычными случайными величинами.

 

Рассмотрим теперь управляемую систему, состояние

которой в мо­

мент

t

описывается

/г случайными величинами. Совокупность

/г

случайных

величин образует п - мерный случайный вектор и

с коор-:

динатами

у ,,

у * , •■•> %»- •

 

 

 

 

 

В качестве характеристики точности управляемой системы можно

принять дифференциальную энтропию случайного вектора

у .

 

Согласно

[1б]

энтропия

случайного вектора

Н (у )

равна

а

 

Н ( у ) = н

 

- M [ & f

 

 

 

(1 3 .9 )

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ео оо

 

 

 

 

где

-

совместная плотность распределения

вероятностей

случайных величин

у ,, •у*, . . .

.

При абсолютно точном задании координат

системы у , , ^ а

дифференциальная энтропия

H(tf)

обращается

в минус бесконечность.

133

Предположим, что случайные величины у

п. независимы,

 

тогда формула (1 3 .9 )

примет вид

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H ( f ) = - М [ t ° f Н у < ф , ■■■,%*)] = -

f o v j s f y s ) ,

( 1 з . и )

 

 

 

 

 

л=/

 

 

 

 

где J s ( y s )

- плотность

вероятности

случайной величины

zys .

 

Так как H(tfs) =~М[fojj}(ys)] ,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‘5 - i.

 

 

(1зл2)

 

 

 

 

у п jfz, ■••, у п

 

 

 

Если случайные величины

распределены по нор­

мальному закону, то дифференциальная энтропия

Н ( f )

выражается

формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

5 - i

 

 

i - 1

 

^ t

 

 

 

____

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•

( 1 з л з )

Принимая во внимание меру точности, преобразуем формулу

(13 .13) к

следующему виду

 

 

 

 

 

 

 

 

Н W

=^1

[jzjte tfi] =Y^[Loj^z&e

+to<f<o^ =

 

6 - i

 

 

tv

5 - Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= rv io(j, { ш

-

t&(L As .

 

 

 

(13 .14)

 

 

 

*77

V

 

 

 

 

Из. формулы (13 .14) следует, что уменьшение меры точности вызыва­

ет возрастание меры неопределенности. Иначе говоря, чем точнее зна­ чения фазовых координат, тем меньше дифференциальная энтропия.

Таким образом, энтропия случайной величины может сдужить уни­ версальной характеристикой состояния, надежности и точности[59) .

3 . Метод минимальных отклонений. В приложениях математической статистики часто встречаются задачи, для решения которых приходит­ ся вычислять значения форм произвольных степеней. Метод вычисления параметров при минимизации форм четных степеней отклонений будем называть методом минимальных отклонений.

i34

b этой книге дается интерпретация метода минимальных отклоне­ ний, развиваемая на целесообразных задачах.

Пусть

имеется последовательность равноотстоящих значений

 

 

у г

 

с одинаковым шагом

А

и система

соответствующих

зна­

чений

• Предположим, что

зависимость между

ос

и

у

выражает­

ся линейной функцией

у

= / ( х )

 

 

 

 

 

 

 

 

Требуется

найти

такое значение

\г( * р ,

чтобы форма четной

сте­

пени отклонений

у i

от

V4 у )

была

минимальной.

Из условия

задачи

следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= /

( * . ) +

------ -------------- ( X l - X , )

0 =

1 , я ) .

 

 

 

 

 

 

 

^

^ I

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как значения аргумента заданы с постоянным шагом,

то

 

 

X i = x, + ( i - i \ A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя

значения

X ;

и

в

выражение

у ,-

, получаем

 

 

 

 

Уг = / ( * . ) + ( i - 0

/(*/»)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/V- 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В этом

случае отклонение

6;

выражается формулой

 

 

 

 

Тогда форма четной степени отклонений равна

N

ч

„/(•**)-/<■*«)

г,

ч

,,

Д

Х1) +(1_0 ------_

---------- ^ Су )

 

/=/ L

 

 

 

 

 

где 2- - положительное четное

число.

 

 

 

Для определения

V(y) перенесем начало отсчета

в точку

У ' - г С у . * ? ' ' 5 •

1 35

В результате

этого преобразования получим

 

 

s =i f ! ’-

/ ( * * ) -/ (а \ ) (2 i - N - i )

г

(1 3 .1 5 )

2(/ v -i)

 

 

 

Найдем значение 'iT(y) ,

обращающее выражение

(1 3 .1 5 )

в минимум.

С этой целью продифференцируем его по

г/)

и приравняем производ­

ную нулю

 

 

 

 

 

S'- г

I

2 (/ v -l)

 

г -i

 

= о .

 

 

 

 

 

Решая это уравнение, имеем

/V

Так как вторая производная

Z-2

S =г(г- /С3-"*)

- ( 2 t - / v - i ) }

2 (/ v -i)

£=i

положительна, то при критическом значении >Г(у) форма S будет минимальной

2 2 O - 0 z

Е ( 2 i - /У- 0

/а /

ИЛИ

(1 3 .1 6 )

г=1

Бо много;: случаях можно вычислять параметры аппроксимирующих функций,

исходя из принципа минимума квадратичной формы отклонений.

136

 

Пусть дана линейная функция у

от независимых

переменных

v-0,

V",, . . , V'a

и n + i

параметра

а 0, а. , , . .

схп .

Предполо­

жим,

что известны

системы значений аргументов

Ц,,:, Р н ,

■■, v~ni

и соответствующие

значения функции

y t

( * =' f, ж )

.

Требуется

выбрать параметры функции у

=/(^>,

v~,, ■■■, &а )

так,

 

чтобы квадра­

тичные формы отклонений 5я(/с=<у0 были минимальными. Обозначим через

отклонение

от начального момента V(iгя,у) системы двух величин

У*

и у

, т .

е .

 

 

 

 

 

 

 

l Ki = vxi/С

vai) - V

 

 

.

 

Тогда

квадратичная форма отклонений

S л будет иметь

следующий вид

 

 

ж

 

 

 

 

,

а

 

 

S.- 2 Ы/<й1'1’ ■■■-"М - *(ч,y)J .

(13 .17)

 

 

г-/

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцируя выражение

(13 .17)

по

V” ('г^с,^) * имеем

 

 

 

Ж

 

 

 

 

 

 

 

 

S '

=

 

»• ■•.

-

V f o , ? ) ] .

 

 

 

г-1

 

 

 

 

 

 

 

Так как вторая производная 5 Д-

- Z J f

больше нуля,

то при крити­

ческом значении V (v *, у )

форма

5 *

будет иметь минимальное значе­

ние.

 

 

 

;

 

__

 

 

 

 

Приравнивая производные

( к = о,п)

нулю, получим систему из

( n + 1)

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

ж

ж

(13.18)

г

г-i

Ж

“ Y ^ V - n i h vo i , V r i , - , ra i ) = о i * i

 

 

 

 

 

137

 

 

 

 

По условию задачи функция

у

=J ( p , t Pf ! .. , гРл)

выражается

следуЕщей

формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

J ( p e,pt>. . . , P rJ

 

= ] Г а

5г>3 =

( a ,

г Г ; ,

(1 3 .1 9 )

 

 

 

 

5 . 0

 

 

 

 

где ( а ^ р ) - скалярное произведение векторов

й. = { а « , Я | Я л }

и V - { Щ , Р и ...,

Vn } .

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем

систему уравнений

(13 .18)

с учетом (1 3 .1 9 ) .

Тогда подучим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< ( ъ , у ) - ~

X а * Ц = ^

 

 

 

5=0

 

t =/

 

 

 

 

 

 

П

 

 

/V

 

 

 

 

' Г К ^ )

- ^

У "

^

У

"

v,{ vSi

-

о ,

(1 3 .2 0 )

 

 

S -О

 

i

- /

 

 

 

 

а/V

i* 0

t =/

 

 

 

 

 

Для упрощения системы уравнений (1 3 .2 0 )

введем

следующие обозначе­

ния

ы

 

 

 

 

 

___

 

 

 

 

 

* 0 * , ? s ) = VK Vs

2^5г-

(/r,S = О , а ) .

(Х3. 2Х)

 

t - i

 

 

 

 

 

Принимая во внимание (1 3 ,2 1 )

и заменяя начальные моменты их значе­

ниями 'ffi’t , №$") ” РцР$ и V f^ ,

у ,

получим

систему,,

содержащую

■столько же уравнений сколько неизвестных

а в ,

а

, .

а я

 

<*■•*(P .,v t) + a ,V ( p 0,v ,)

+ . . . + a n V f a v J ^ f l V o ,? ) ,

 

Go V(% ,yf) + ff, V (pu p,)

+ .. . + OnVf a ,P n ) = Vft, y),

(1 3 .2 2 )

 

 

 

 

 

 

«0 ^ 0*,^) + a, ]T (v„ P„) + . .. + G at(V-a,Pa)^ (Pa, f )

Смотрите также файлы