Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf

(1 3 .2 3 )

a.v.vn +a, v, va+ . . . + a* v z =vn\j .

Если в выражении

(13,19)

= /

, то

его

можно записать в

виде

у = ! / 0 „

п

V n ) =

* в +

^

a s v-s .

(13 .24)

В соответствии с

(13 .24)

и (1 3 .2 3 ) получим следующую систему

уравнений

ас + a, v, +. . . +ап vn = у ,

cl0v , +a, vz+. . . + an v~vn =vvy,

I

(13 .25)

а е г>л + а , » , » л + . , . + си v * = v „ y .

Система уравнений

(1 3 .2 5 ) имеет

единственное

решение при условии,

что ее определитель

1

V, .

■

V*

V,

^ .

.

W i .

(13 .26)

v'n W * ■

■

v ?

=

Z)s { V K y }

( f C , S * o T n ) t

(13 .27)

где

& s |

ь-л у }

- определитель, получающийся из

Д

заменой

S -

го

столбца свободными членами.

Ю ,

Пусть функция

у =/ ( гл, гл,, . . . ,

)

определена в

области

причем ее

аргументы

V ,, az , . . . ,

т>п

являются

в свою очередь функ­

циями других переменных

ос,

, ас z ,

. . . 7

зс m

:

=

(ac,,xz>..., хп ),.. . , va=S„(x„acz,...,xm).

(13.28)

В

этом

случае

у

есть

сложная функция от

независимых переменных

а с,,

acz ,

. . .

,

асm .

Подставляя

значения переменных

V,, vz ,■..., v-a

в

функцию (1 3 .2 4 ), подучаем

^ F (ac,,acz , . . ., x m)

гг

у

+

a sfs(x,,acz,...,acm) .

(13 .29)

s Л

Согласно

(13 .28) и

(13 .29) систему уравнений (1 3 .2 5 )

можно предста­

вить

в

виде

а.о +а, У, + . . . + ап^п - у ,

cuj,

+a, j,z+. . . +

ап/,/„ = У,у,.

(1 3 .3 0 )

си &

+

а , •/, Ул + .

. .

+

а п ■/,/ =

■/„ у .

Если переменные

V,,

vz , . .

. ,

i> п

зависят только

от

одного аргумен­

та

O’

:

” я - / л ( х ) , .

. . ,

Vn

= / Л С д г ),

(13 .31)

то функция

у

= '/(^О ^z , . . . 1Vn)

является функцией одного

аргумента

у = ^

Г

/

,

= Ф (*)•

(13.32)

140

Полагая

в

выражении (13 .24)

V-s = f s ( x )

( s = /,л )

, имеем

п

у

=

Ф О )

= а

0 +

Y

^ a s f s ( х )

•

(13 .33)

Для определения параметров функции (13 .33)

необходимо решить следую­

щую систему уравнений

О. о

+

+ .

. . + 'CLnSn

~

У 1

***/»

+

+ . . .

+

a n J d n

“ /,[/’

(13 .34)

+ G/ft/n + . . .

*

.

В частном

случае,

если J $ ( x ) -

X s .

то функцию (13 .33) можно

выразить

в

виде

^

=

Ф ( * )

=

OL* +

(1 3 .3 5 )

S -i

Так как

z^j

- J s ( х )

=

дг 5

,

то начальные моменты будут равны

И

f ( v « , y )

= i{ (x*y)=)fxl . .

(13 .36)

Подставляя значения начальных моментов из

(13 .36)

в (1 3 .2 2 ),

полу­

чаем систему уравнений

а А » +<М / + . . . + йп 'Гп

= >г

’ (М ;

cu, f t

+ a ,

f 4

+ . . .

"*■ йл. ^п-м = >Гм ,

(1 3 .3 7 )