Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 115
Скачиваний: 0
18
Используя свойство дисперсии и формул (1Лб)»' преобразуем выраже ние (1.52) к следующему виду
£)(т) = Jt*a(t)dt - (f ) ^ - ] t zP‘^ d t |
- |
(т) = |
|
о |
- ° |
|
|
. с*> |
_ ' /2- |
, |
‘ |
~-ijoCt)j~+ z ppt.t)dt -(т) |
(1.63) |
||
О |
|
|
|
отсюда |
|
|
|
&о |
|
|
|
jZHT) = z\tp(t)dt |
~(т}2 |
|
(1.54) |
о |
|
|
|
юш с учетом (1.4) и (1.5) |
оо |
|
|
|
|
|
|
iZ>(T)»zJt[i-^t)]dt |
|
|
(1.55) |
О |
О |
|
|
Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины Т . С этой целью, извлекая квадратный корень из диспер сии, получаем величину & (Т ) , называемую средним квадратическим отклонением. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
Т могут быть вычислены лишь в том случае, если соответствующие интегралы абсолютно сходятся.
6 . Основные законы надежности. Бремя безотказной работы эле мента до наступления отказа есть непрерывная случайная величина Т, Наиболее удобной характеристикой случайной величины Т является плотность вероятности j ( t ) , потому что она непосредственно опре деляет частоту отказов. В зависимости от характера возникновения отказа закон надежности получает конкретное воплощение. Перечислим основные законы надежности элементов, работающих до первого отказа.
Экспоненциальный закон надежности Характерным свойством этого закона является постоянство интен
сивности отказов А (£)=Д для периода нормальной работы элемента.
На основании указанного свойства определим характеристики надежности
19
при экспоненциальном распределении времени безотказной работы.
В соответствии с формулой (1 .26) при Л ( 0 - X найдем функцию надежности
|
- |
J XH)clt |
|
|
- x t |
|
|
|
||||
р с о = е |
о |
|
|
|
|
= е |
|
|
|
а . * ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вероятность отказа при экспоненциальном законе надежности вы |
||||||||||||
ражается формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y e t ) |
= i - p i t ) |
= |
/ - |
e ~ x t . |
|
|
(I *57) |
|||||
Дифференцируя выражение |
( 1 . 5 7 ) |
|
по |
t |
, |
полупим частоту |
отказов |
|||||
a(t) |
=<£'(() |
= л е ~ л1 . |
|
|
|
|
(1 *58) |
|||||
Подставляя в выражение |
(1 .35) |
вместо |
u ( t ) |
и |
Q,(t) |
их значения, по |
||||||
лучим функцию ресурса надежности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a ( t ) |
|
X t |
|
-x t |
|
|
X |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 .5 9 ) |
||||
JH 0-- |
|
i - |
e |
- x t |
|
|
|
|
|
|||
$ ( t ) |
|
|
|
e x t - |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
На основании форгдулы (1 .4 9 ), |
подставляя |
вместо |
p i t ) |
ее |
значе |
|||||||
ние, вычислим математическое |
ожидание времени безотказной |
работы |
||||||||||
|
|
At |
|
|
|
|
|
-xt |
± _ |
|
|
|
т =j p(t)dt = JV dt = - ± е |
|
|
(1 .6 0 ) |
|||||||||
|
X |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что Ж О - X |
, преобразуем выражение СХ.4 1 ) к следующему |
|||||||||||
виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_1_________ = |
_ _ / |
|
|
|
|
|
(i.6i) |
|||||
a i t ) |
jb ( t ) |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для вычисления дисперсии времени исправной работы воспользуемся
20
формулой (1.54)
©о ^ Jti й
£>(Т)=2 Jtp(Ofl/f-(f) =J2Jt е" dt -(-£) =(f)2. (1.62)
|
о |
|
|
|
с |
|
|
| |
Принимая во внимание формулу |
( I . 6 I ) , |
получим |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.63) |
Для экспоненциального закона надежности справедливо следующее |
||||||||
характеристическое |
|
свойство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p ( t + 6 ) |
е |
- x ( i + 6) |
(1.64) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем еще |
оцно |
замечательное |
свойство |
этого закона. Из выражения |
||||
( I . 6 I ) следует", что для любого t |
|
справедливо равенство |
||||||
—L____ (_ - —— ----i—- |
- .—t----------- (1.65) |
|||||||
ait) |
fi(t) |
ait,) |
pit,) |
''‘ |
a(tn) |
pita) |
||
Покажем, что |
если разность |
t_______.— - |
с > o |
есть постоянная |
||||
|
|
|
|
act) |
fid) |
|
|
|
величина, то закон надежности обязательно будет экспоненциальным. Это свойство представляет собой необходимый и достаточный признак экспоненциального закона.
Действительно, пусть разность
act) pet)
есть-некоторая постоянная величина. Тогда
a i t ) = с a i t ) p e t ) .
21
Учитывая ( 1 . 3 5 ) , будем иметь
a(t) |
(, ) _ |
с а а(*) |
|
иди |
рСО = Сo.(t) . |
|
|
|
q,(t) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Откуда, используя |
( I . I 6 ) |
и равенство |
i- = |
С |
, подучим |
|
|
d i |
|
~ |
Л ’ |
|
(1 . 66) |
|
|
|
|
|||
Интегрируя полученное уравнение |
от С |
до |
t , |
найдем |
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
in p ( t ) ^ - \ x d t * - X t . |
|
||||
|
|
с |
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
p i t ) = |
- A t |
|
|
|
|
|
£ |
|
|
|
||
Закон надежности на основе гамма-распределеная Найдем характеристики надежности для случая, когда время воз
никновения отказа имеет гамма-распределение. Для этого закона на
дежности частота отказов выражается'формулой [2 8]
|
a W |
= ~ |
r |
W |
“ ~ |
e ~ * ‘ > |
|
(1 -67) |
|
где cL |
и А - параметры гамма-распределения, |
принимающие положи |
|||||||
тельные |
значения. |
элемента при целом числе d |
|
|
|||||
Вероятность отказа |
будет равна |
||||||||
|
|
|
|
|
л tI |
о£ • |
- A t |
d i . |
|
|
$ ( * ) - U |
m |
t |
=J* |
Г ( х ) |
е |
|
||
После замены переменной |
At - % |
ж вычисления последнего |
интеграла |
||||||
получим |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
( t ) - T7T\ J 2 |
e |
d z = i - e |
Ц |
l ! |
(1 . 68) |
|||
|
ЛЧ) |
|
|
|
|
|
i ~o |
|
|