Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 116
Скачиваний: 0
функцию надежности найдем по формуле ( 1 .4 ) , подставляя вместо q , ( i ) ее значение из (1 .6 8 )
/w=/-?«) =<rAtz; |
1 А 0 ‘ |
|
|
(1 .69) |
|||||
|
|
' |
|
i =0 |
" а |
|
|
|
|
На основании формул (1 .6 7 ) и (1 .6 9 ) определим интенсивность |
|||||||||
отказов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л ( 0 = |
a ( t ) |
• x * i |
(Ло 4 |
|
(1 .7 0 ) |
||||
p ( t ) |
гп |
aL~l^ |
|
||||||
|
|
|
|
ц |
1* |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
г - о |
|
|
|
|
Подставляя в выражение |
(1 .3 5 ) |
значения а ( 7 ) |
и |
<^{t) |
, |
получим |
|||
" a ( t ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
м*\= |
$ ( * ) |
|
|
|
|
|
|
( I .7 I ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя формулу |
( 1 .4 7 ), |
вычислим математическое |
ожидание вре |
||||||
мени безотказной |
работы |
|
|
|
|
|
|
||
СМ3 |
|
|
ос |
|
|
|
Оо |
|
|
f - |
|
S j j g J A - t |
- j f e ) |
|
- |
||||
0 |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
ги+о |
|
|
|
|
|
|
|
|
т= |
cL |
|
|
(1 .72) |
||
|
|
|
Л Г(<*) |
~х |
|
|
|
||
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой (1 .5 4 ) . |
Получим |
||||||||
оо |
j |
а/ —4 |
|
|
|
|
|
|
|
Г(е<-+2) ( r ) Z - |
d Z _ oi. |
Л ' |
Л * Г ( с с ) |
' |
~ |
A * |
A* " a 1 |
23
\ИЛИ
В зависимости от изменения значений параметров d и Л мозшо
установить относительное влияние мгновенных и постепенных отказов
на продолжительность работы элемента. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
При |
d = / |
из формул ( 1 . 6 7 ) , |
( 1 , 1 7 ) |
и ( 1 . 7 3 ) |
следует, что |
|||||||||
а ( { ) - Л £ |
, |
Т - |
|
и £ )( Т ) |
= ( Т ) , т . е . гаммараспределение |
||||||||||
сводится |
к экспоненццел9ному закону. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Интенсивность отказов при d < I |
уменьшается, |
при d - / |
постоян |
|||||||||||
на, |
при |
d |
I |
увеличивается. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Закон надежности Вейбулла |
|
|
|
|||||||
|
Для рассматриваемого закона частота отказов определяется |
||||||||||||||
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
—d iI |
|
^ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
а (0 = оСЛв |
t |
|
7 |
|
|
|
( 1 . 7 4 ) |
||||
где |
d |
и |
Л- _ |
параметры распределения Вейбулла [2 8 ]. |
|
||||||||||
• |
Подставляя |
значение |
« ( О |
из выражения ( 1 . 7 4 ) в формулу ( I . I 7 ) , |
|||||||||||
найдем вероятность отказа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
г |
|
|
|
!<*■ |
|
|
|
, <*-. t |
-с-е |
|
|
|
|
. v |
( |
. d -1 - Л * . , |
= ~ е |
~ d t |
|
||||||||
|
^(0 = J^ca/ |
е |
d t |
|
( 1 . 7 5 ) |
||||||||||
|
функцию надежности выразим через вероятность |
отк аза, а |
затем |
||||||||||||
ш есто ^ |
( t) |
подставим |
ее |
|
значение из ( 1 . 7 5 ) . Тогда |
|
|||||||||
рсоч-уа) =е- x t .* (i.76)
Интенсивность отказов найдем на основании формул ( 1 . 7 4 ) и ( 1 . 7 6 )
M i ) |
a ( t ) |
,^ 4 - i- i |
p t t ) |
( 1 . 7 7 ) |
|
|
|
|
24 |
Подставляя в выражение (1 .3 5 ) |
значения a ( t ) и <^(i) . получим |
функцию ресурса надежности |
|
а (0 |
еСЛ t dL-i |
|
( 1 . 7 8 ) |
Применяя формулу ( 1 . 4 9 ) , вычислим математическое ожидание времени безотказной работы
оо |
ос |
л 4 d' |
Т = \P(t)oLi |
= \ е~ |
d t . |
ОО
Произведя замену переменной = 2 , и вычисляя интеграл, получим
* |
: |
Г ( с ± ) |
• (1 .7 9 ) |
|
|
|
|
Дисперсию времени безотказной работы вычислим по формуле |
( 1 . 5 4 ) |
||
ОО |
оо |
/ |
|
£ > ( T ) = z j { / > « ) < l t - ( f ) ‘ ~ z j t e |
d t - ( f ) |
» |
|
•(1.80)
oLA
Из последних выражений следует, что при оС - / распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное, так как
л(0 = х ? |
, й0 (т ) = - L ^ ( f ) 2-. |
|
I |
|
Закон надежности Рэлея |
Рассмотрим основные характеристики надежности при распределе |
|
нии времени отказа по |
закону Рэлея, В этом случае функция надежно ста |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
выражается |
формулой |
|
t z |
|
|
||
|
|
|
е |
|
|
||
|
|
P(t) |
Z в * |
|
( I . 81) |
||
|
|
|
> |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
где <э - |
параметр распределения |
Рэлея. |
Тогда вероятность |
отказа |
|||
элемента равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t* |
|
|
|
|
$(t) = i - e |
|
г в \ |
|
^-82) |
|
Дифференцируя выражение |
( 1 . 8 2 ) по t , |
получим частоту отказов |
|||||
|
|
|
|
|
t * |
|
|
|
a(t) = p'(t) = - ~ г |
& |
• |
а.вз) |
|||
Применяя формулу |
( 1 . 2 5 ) , |
определим интенсивность отказов |
|
||||
|
|
л(0= а(0 |
t |
|
( 1 . 8 4 ) |
||
|
|
|
p i t ) |
|
|
|
|
Принимая во |
внимание формулы ( 1 . 8 2 ) |
и ( 1 . 8 3 ) , найдем функцию |
|||||
ресурса надежности |
|
|
|
|
|
||
|
|
\ a ( t ) |
|
|
t |
|
|
|
|
J b it . |
|
|
|
w |
( 1 . 8 5 ) |
|
|
|
|
|
|
||
Математическое ожидание времени безотказной работы вычислим по формуле
оо |
Y - ~ т г |
7 ' ~ г ~ |
|
T = j p ( O d i = j e Z6dt=c>Je |
(1.86) |
||
На основании форцулы ( 1 . 5 4 ) |
вычислим дисперсию времени безот |
||
казной работы |
|
|
|
оо |
|
оо |
|
<£>(т) =2 jtpCOdt -(т)2~£J е |
dt -(т)я= |
(f)S |
или
£ > (т ) = J ( 4 - ± ) = ( т / ( ^ р " / ) . |
(1 .8 7 ) |
|
Нормальный закон надежности |
|
|
Основные предпосылки применения нормального закона выражены в |
||
центральной предельной теореме Л.М.Ляпупова [30] |
. Нормальный закон |
|
надежности характерен для постепенных отказов, |
возникающих в |
ре |
зультате износа элементов. Учитывая, что случайная величина Т при нимает неотрицательные значения, введем коэффициент пропорциональ ности в формулу частоты отказов.
|
Тогда |
получим |
||
|
|
|
|
( ± - т У |
|
|
|
|
(1 .8 8 ) |
где |
Те |
и |
б с - |
параметры нормального закона распределения, а |
Д |
- коэффициент пропорциональности. Определим /С , используя |
|||
с в о й с т е о |
(I .14) |
частоты отказов. Для этого проинтегрируем (1 .3 8 ) в |
||
пределах |
от |
0 |
до |
|
Выполняя в интеграле справа замену переменной |
- i , будем |
|
иметь |
|
бо |
|
|
|
О- |
в - Т с ) 2' |
|
То
бо
где