Файл: Батяев, Б. Г. Исследование надежности и точности линейных систем автоматического управления.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
|
|
|
к = |
i |
|
(1 .8 9 ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0,9 |
+ ф Г Х » 4, |
|
|
|
|
|
? |
I 0 \6 0 / |
|
|
Пероятн.сгь отказа элемента 'определим по формуле ( I .IV ) , |
|
|||||
подставляя вместо ct(t) |
ее |
значение. |
Получим |
, |
|
|
^ 0 |
i z l t i o jo |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
\9.(г£) +п {£ |
(1 .9 0 ) |
|||
|
?<0= |
[о7»"+ч(й)] |
|
|||
Подставляя в выражение |
(1 .4 ) вместо q ( i ) |
ее значение, |
получим |
|||
;футстд а |
надалности |
|
|
|
|
|
|
[Ч2( ' # ) + ^ ( й ] |
ч * - « ( ч г ) |
( I . 91) |
|||
|
р и ) = 1 |
|
|
* >*<%($:) |
||
|
|
|
|
|||
|
pt+WJ.',] |
|
||||
данное |
распределение удовлетворяет начальным условиям р ( о ) - ! |
и |
||||
q (о) - О , что подтверждает правильность выбора коэффициента про |
||||||
порциональности. |
|
|
|
|
|
|
По формуле ( I .J 3 ) |
надаем интенсивность отказов |
|
||||
|
|
|
|
(_ ^ -т 0) й |
|
|
|
(Н 0_ |
|
б 2 б / |
|
(1 .9 2 ) |
|
|
M i ) = |
|
|
|
|
|
/> ( 0
На основании формулы (1 .3 5 ) определим функцию ресурса надежности
2 Ш |
^ ___________________ ^ ________________________________ |
( Т 93) |
wт&Ым+ЧЦ*#)]
§2 . Надежность элемента многократного действия
I . Вероятность восстановления и связанные с ней характеристи До сих пор мы рассматривали критерии надежности элементов однократ ного действия. Изложим теперь способ построения критериев надежности элементов, которые после возникновения отказа восстанавливаются.
Эти элементы предназначены для длительной работы, поэтому их назы вают элементами многократного действия [49] .
На обнаружение и восстановление неисправного элемента затрачи вается определенное время, которое называется временем восстановле ния. Величина времени восстановления Т зависит от большого числа факторов, которые не могут быть учтены полностью. Поэтому время вос становления элемента многократного действия является случайной ве личиной. Будем считать, что функция распределения времени восстанов ления V ( ' t ) задана и является непрерывной функцией времени.
Определение, 'функцияУ(т )~Р(Т<?), выражающая вероятность того, что элемент будет восстановлен до момента Т , называется вероят ностью восстановления.
Вероятность восстановления V ( 'r ) является неубывающей функ цией времени и заключена в пределах 0 & Y ( l ) & l . Функция V ( t ) яв ляется количественной характеристикой восстанавливаемости элемента. В связи с этим, она используется в качестве критерия надежности [48].
Наряду с вероятностью восстановления Y ( t ) часто употребляется и другая функция
(Нт) =j-V(r)., &-U
т .е . вероятность невосстановления элемента за время Т . Предпо ложим, что функция V ("£ ) дифференцируема и имеет непрерывную произ водную V ( Т ) , которая называется плотностью вероятности восстано вления
(2 .2 )
29
Плотность вероятности восстановления характеризует скорость' измене
ния вероятности восстановления |
и имеет размерность |
. |
По величине V ( r ) можно судить |
о числе элементов, |
которые могут быть |
восстановлены за определенный промежуток времени. Очевидно, что ве
роятность восстановления элемента за время |
% может быть определе |
||||
на интегрированием функции 1>(г) |
в пределах |
от О |
до |
Z |
|
|
Т |
\ |
|
|
|
] [ { г ) = J v ( v ) d v . |
, |
|
( 2 . 3 ) |
||
|
о |
|
|
|
|
Подставляя в выражение ( 2 . 1 ) вместо Mir) ее |
значение |
из (2-.3), |
|||
получим |
|
|
|
|
|
в ( ъ ) = l - j v ( T ) c h : . |
|
( 2 . 4 ) |
|||
|
|
с |
|
|
|
Вычислим теперь вероятность невосстановления |
элемента G i ^ / r ) |
||||
в промежутке времени ( Z , Z,) |
при условии, |
что до момента Z эле |
|||
мент не был восстановлен. Для |
этого необходимо воспользоваться фор |
||||
мулой условной вероятности, а |
именно |
|
|
|
|
|
|
|
|
б- { % / z ) ~ |
|
|
• |
(2*5) |
||
Тогда вероятность |
восстановления |
элемента на интервале времени |
||||||||
( X , Zf ) при указанном условии будет равна |
|
|||||||||
|
|
У ( ъ М = 1 - 6 - ( Ъ / г ) |
|
(2 .6 ) |
||||||
|
2 . Интенсивность |
восстановления. |
|
|
||||||
|
Определение, функция, выражающая плотность условной вероятно |
|||||||||
сти |
восстановления в момент |
Г |
при условии, что до |
этого момента |
||||||
элемент не был восстановлен, |
называется |
интенсивностью восстановле |
||||||||
ния. |
|
|
|
|
|
Г, -Z+ д Z- |
вычислим интенсивность |
|||
|
Полагая в формуле ( 2 . 6 ) |
|||||||||
восстановления |
jJi ( г ) , |
как предел] |
отношения |
|
||||||
|
|
|
V ( * + * Щ |
при |
Д Т |
о , |
|
|||
|
|
|
|
Д X |
|
|
|
|
|
|
а I X ) - и * |
V ( ? + a ? /r ) |
1 |
|
бЮ -С С с+ л*) |
- - т у ( 2 - 7) |
|||||
— |
Р ё — |
= |
|
|
— |
J r ----------- = |
||||
J |
6. |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
Зи
или
№~ 4 г 1'‘ б(^-
Подставляя в выражение ( 2 . 7 ) вместо G \ т) ес значение из получим
_ W ) & 1 Г ) '
или с учетом (2 . 1 )
/(г) и-(т)
l - V t z j
(.-.. )
2),
)
( 2. 10)
Интенсивность восстановления обладает |
размерностью, совпадающей |
||
с размерностью плотности |
вероятности |
восстановления 14 I ) . |
|
Интегрируя уравнение |
(2 . 8 ) от О |
до |
% , получим |
|
т |
|
|
Ы. G i i ) - - J |
с/ с ( |
||
|
о |
|
|
откуда |
|
|
|
J fUV)dt
G(r) С |
о |
■I I ) |
Зависимость меаду вероятностью воссталовления и интенсивностью вос
становления можно получить из выражений (2 . 1) а |
( р . Г ‘ ) |
|
- f pit) f/ t |
|
|
V(t) = i~C |
|
(2.T2) |
Из формулы ( 2 . I I ) следует, что вероятность |
невосстзноад.епия |
|
элемента на интервале ( Т , , Тг ) связана с функцией |
•-шиси- |
|
мостью |
|
|
- J Ц ( t ) d t
G ( T z / c , ) = С ' |
. |
(2 .13) |
31
Учитывая (2. 12) и ( 2 . 1 3 ) , найдем вероятность восстановления на интервале ( 't, , Тг. )
-J
|
У Ы /t.) ,i-eT,~ |
( 2 . 1 4 ) |
3 . |
Процесс восстановления. Пусть имеется |
элемент многократног |
действия, который восстанавливается каждый раз после возникновения отказа. Предположим, что во время восстановления элемент приобрета ет первоначальные свойства и становится исправным или заменяется но
вым элементом того же типа. В момент |
t - o |
элемент начинает рабо |
тать и работает в течение случайного |
времени |
Т / , затем происхо |
дит отказ. После отказа элемент восстанавливается в течение случай
ного времени Т , " |
. Затем восстановленный элемент работает до |
сле |
||
дующего |
отказа в |
течение времени Т2' |
и восстанавливается за время |
|
Т2" . |
В дальнейшем процесс протекает |
таким же путем, образуя |
слу |
|
чайную последовательность моментов отказов |
|
|||
( т ‘ -' + т -')> т- - ° - |
п |
7 = 1 |
|
и моментов восстановлений |
|
|
|
f |
= |
У * |
(Т/+ Т ;1) |
, |
С --0, |
гг - 1,2., |
• |
||
|
|
L ft |
<- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Предположи’.!, |
что периоды исправной работы |
Ъ |
и периоды вос |
|||||||
становлений элемента 77" |
независимы. Будем считать, |
что |
случайные |
||||||||
величины |
Тп' имеют одну и ту_же функцию распределения P(Tn<t)-F(t) |
||||||||||
с |
числовыми характеристиками Т = М( Т п ) |
и Ю'=£>( /п ) |
. Предположим |
||||||||
также, что случайные величины |
Тя |
имеют одно и |
то же распределение |
||||||||
Р(Тп"< t ) - V (1) |
с |
числовыми характеристиками Т "=М ( Тп ) |
t£D"=£D(T„ ). |
||||||||
Рассматриваемый процесс носит название процесса восстановления с |
|||||||||||
конечном временем восстановления [ у] . |
|
|
цикла. Пусть Тп |
||||||||
|
4 . |
Функция распределения |
продолжительности |
||||||||
я |
Тп" ( /г ■- /,2, |
в з а и м н о |
независимые случайные величины, пред |
||||||||
ставляющие соответственно период исправной работы и период восста новления. Будем считать, чте известны функции распределения этих случайных величин F (1 ) = Р ( Т, «•О и V(t) - Р(Тп < t ) .