Файл: Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона.pdf

Для облегчения определения я в табл. III.1 приведены минимальные объемы выборок в зависимости от а и со­

отношения %т = б{х} : V{х}, называемого нормирован­ ной погрешностью.

Для типичных в технологии бетона я = 2-6 в табл. III.2 приведена расчетная нормированная погрешность хт для а = 5% и а=10% . Анализ этих результатов пока­ зывает, что почти во всех случаях кт > 1 , следовательно, при малом числе образцов нельзя сделать выводы с точ­ ностью большей, чем коэффициент вариации ѵ{х}.

Для больших выборок объем я, обеспечивающий ре­ презентативность по оценкам s2{x}, ѵ{х}, г{ху} и т. д., можно рассчитать исходя из соотношения (III.1). Для малых выборок объем я следует выбирать по таблицам, построенным с использованием распределений, отличных от нормального (такие таблицы для s2{x} приведены в работе [16], для г{ху) — в работе [61]). Как показы­ вает опыт, для определения необходимого объема я дан­ ных при классическом регрессионном анализе (число

74

переменных К) расчеты по сложным методикам приво­ дят к результату, близкому к следующему:

1 0 /(< я < 3 0 /С , (III.8)

который и рекомендуется использовать при сборе ин­ формации.

Для определения числа параллельных измерений в

учитывать не только риск а совершить ошибку первого рода (риск отвергнуть в действительности верную гипо­ тезу, учитываемый в приведенных выше формулах), но и риск ß совершить ошибку второго рода (допустить не­ верную нуль-гипотезу, когда в действительности верна альтернативная).

Последние годы в различных отраслях науки и тех­ ники широко применяется новый метод последователь­ ного отбора информационных единиц (при эксперимен­ те — образцов) в изучаемую выборочную совокупность. Предложенный Вальдом метод при систематическом применении дает возможность изучать в среднем в два раза меньше образцов, чем при обычных методах, когда число испытаний фиксируется априори. После каждого проведенного испытания экспериментатор делает одно из трех заключений [53] (с учетом ошибок а и ß):

а) проверяемая гипотеза Я0: ті^т)о допускается; б) гипотеза Я0 отвергается и допускается альтерна­

тивная Я 1 : ті^г|і; в) испытания продолжаются, так как результаты всех

накопленных испытаний находятся в области сомнения. Однако в технологии вяжущих и бетонов применение алгоритма Вальда ограничено лишь специфическими за­ дачами физико-химического анализа, когда результат испытаний может быть получен достаточно быстро. В ти­ повых задачах (изучение прочности, упругопластических свойств и долговечности) последовательный анализ применять затруднительно, так как время ожидания резуль­

тата весьма велико.

II 1.2. Сравнение результатов двух групп испытаний (двух выборок). Такая задача возникает наиболее часто в повседневной работе технолога, когда необходимо оце­ нить, влияет ли то или иное рецептурно-технологическое решение на результаты испытаний. Применение стати­ стических критериев для проверки гипотез о равенстве

75

средних Гр и г)2>дисперсий of и о%, коэффициентов ва­

риации д>і и У2 в данном случае является обязательным, так как известны многочисленные работы, в которых решение данной задачи на «интуитивном» уровне приво­ дило к грубым ошибкам в технологических выводах.

Статистические критерии для проверки гипотез Н0: :г)і=г)2, Я о: of =о\ и Я0 : у і= у 2 предполагают, что оба

ряда измерений являются выборками из двух нормально

Индексом 1 отмечают большую из двух дисперсий. Гипотеза о равенстве crj =а^ допускается в том слу­

чае, если /?< ^ ’табл. взятого при числе степеней свободы fi —ііі—1 и f2 = «2—I для определенного уровня значи­

часть таблиц приведена в приложении VI. Если F > F тасл, то нуль-гипотеза отклоняется и с вероятностью 1—а мо­ жно утверждать, что о\Ф о \ .

Пример Ш.4. Проверить нуль-гипотезу о равенстве дисперсий фактической прочности двух бетонов марки 300, изготовленных на

пустить нуль-гипотезу о равенстве генеральных дисперсий прочно­ стей бетона (о[ = 0,).

Задача Яо_:т|і=г|2 о сравнении двух выборочных средних у 1 и i/г может быть решена с помощью f-крите­

76

рия. Если 5j не отличается статистически значимо от s;2, то находят значение t по формуле

>4+ яа — 2

После этого сравнивают при заданном уровне значи­ мости эту величину с £Табл при / = /іі + /г2—2. При ^табл>^ нуль-гипотеза допускается и можно г|г считать равным г|2- Если гипотеза а] = g? не допущена, то формулы

(ШЛО) и (IIIЛ 1) неприменимы. Приближенное решение в этом случае (для п{ф п 2) дано в [74].

При пі — п2 = п выборочные средние можно сравнить, если гипотеза Gj = g| не отклонена, по формуле [при

f = 2(n—1)]

У+

Если а \ф о \ , то формула (III.12) является прибли­

женной и (-критерий проверяется при числе степеней свободы:

77

что при переходе от цемента марки 500 к цементу марки 600 сред­ няя фактическая прочность бетона марки 300 возрастает.

Если обе нуль-гипотезы (Но-'Ц\ = Ц2 и Н0 \а\ = а\)

не отклонены, то в дальнейшем две группы испытаний можно рассматривать как одну выборку и использовать

новые оценки у{піп2} и s2{n1u2}-.

Задача о сравнении двух оценок коэффициентов ва­ риации VL и ѵ2> весьма частая в рецептурно-технологи­ ческих задачах для бетона и других строительных ма­ териалов, несложна, если предварительно проверены ги­ потезы # о : *»1г = гі2 и #о '■а? (поскольку у і= О і: rji),

но становится очень не простой, если есть информация только о Ѵі и соответствующем числе измерений пи До­ статочно удачным можно признать для малых выборок

образования А. Мак-Кэя [51] (в числителе стоит боль­ шая величина, число степеней свободы соответственно

Пі—1 и tij—1):

Пример Ш.6. При применении добавки СаСІа был получен бе­ тон с коэффициентом вариации гч=10% (по данным испытаний J_5 образцов). При введении в бетон добавки NaN02 определены

7?2=300 и s2= 4 5 кгс/смг (при п2= 6 образцов). Сохранилась ли

однородность бетона, характеризуемая величиной у,-, при замене одной добавки на другую?

78