Файл: Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 84
Скачиваний: 0
Из матрицы [Т] можно образовать девять квадратных под матриц [Т,-]:
4 4 |
|
4 |
2 |
|
|
4 |
2 |
|
[т і] = 3 |
3 ; И - |
3 2 ; И |
= |
3 |
2 |
|||
4 |
4 |
|
4 |
2 |
|
|
4 |
2 |
3 |
2 : И - |
3 |
2 |
; N |
= | 2 |
2 |
||
3 3 |
|
II3 |
2 |
|
|
3 2 |
||
|т ;] = |
|
[Те] - |
; N |
= |
2 2 |
|||
3 2 |
3 2 |
|||||||
Подматрицы [Т.2|, [Т3] и [Т5] равны между собой.
Определителем (или детерминантом) квадратной матрицы [А] называют число |/1[, рассчитанное по пра вилу Крамера:
для /г = 2 — по формуле
|
^21 |
^22 |
— Ац • |
Л'із А21; |
(11.87) |
|
|
|
|
||
по |
ф орм у |
|
|
|
|
Он ^12 а 13 |
|
|
|
||
ИІ = Ö21 |
а 22 а -23 |
а 11 °22 Я23 |
®11 ®23 ®32 |
|
|
Й31 |
а 32 а зз |
|
|
|
|
!ЗІ — ^12 ^21
Матрица, определитель которой отличен от пуля, на
зывается невырожденной (или неособой); если |
|Л |= 0 , |
|
то матрица |
[А] — вырожденная (или особая). |
|А| по |
Минором |
М ц элемента а ц в определителе |
|
рядка п называется определитель (п—1)-го порядка, получающийся из определителя \А\ при вычеркивании t-строки и /-столбца. Миноры, образованные вдоль глав ной диагонали матрицы [А], называются главными ми норами.
Алгебраическое дополнение А,-; элемента a,j равно
соответствующему минору М ц , |
умноженному на (—1) ’■+■»: |
Ац = |
(11.89) |
Пример 11.24. По данным примера 11.23 рассчитать для [Т] определитель [Г|, миноры Л4І;- и алгебраическое дополнение Ац.
4 4 2 IT] = 3 3 2 .
3 2 2
64
По формуле (11.84) находим определитель
|Т| = 4- 3-2 — 4-2-2 + 4-2-3 — 4-3-2 + 2-3-2 — 2-3-3 = 2.
Миноры (в примере 11.23 определители подматриц |Г(-| в том же
порядке) и алгебраические дополнения к ним равны: |
|
||||
Af,3 = 4 - 3 - 4 - 3 = 0; |
Л33 = |
( - 1 ) 3+ 3 0 = |
0; |
||
М32 = |
4-2 — 2-3 = |
2; |
Л32 = |
(—1)3+22 = — 2; |
|
Л4ЗІ = |
4 ■2 — 2 • 3 = |
2; |
Азі = |
(—I )3+І2 = |
2; |
M 2S = 4-2 - 4-3 = —4; |
А і3 = |
( - l ) 2+ 3(_ 4 ) = 4; |
|||
Л422 = |
4-2-— 2-3 = |
2; |
A,2 = |
( - l ) 2+22 = |
2; |
M2i = |
4-2 — 2-2 = |
4; |
Asi = |
(—l)2+ 4 = — 4; |
|
Mia = 3-2 — 3-3 = — 3; |
A 13 = |
(—1)1+3(—3) = — 3; |
|||
M12 = |
3 -2 — 2-3 = |
0; |
Л12 = |
(—l)I+20 = |
0; |
Afn = |
3-2 — 2 - 2 = 2 ; |
А ц = |
(—1)1+12 = |
2, |
|
Главные миноры Л4ц= 2 , Мгг= 2 и М33= 0 .
Присоединенной матрицей [АѴ] для заданной квад ратной матрицы [А] называется матрица, полученная при замене каждого элемента ац его алгебраическим до полнением Aij и транспонированием такой новой мат рицы.
Пример И.25. По данным примеров П.23 и II.24 получить при соединенную матрицу [TV]:
первый этап: замена ац на А ц
А ц |
А ц |
A13 |
2 |
0 |
А г± |
A22 |
■^23 = |
—4 |
2 |
A3i |
A32 |
■^эз |
2 |
— 2 |
второй этап: транспонирование
1СО 4
0
|
|
2 |
—4 |
2 |
|
ПѴ] = |
0 |
2 |
—2 |
|
—3 |
4 |
0 |
|
|
|
|||
II.11. |
Элементы линейной |
алгебры. Основные дей |
||
ствия над матрицами. Если |
матрицы [А] с элементами |
|||
üij и [В] |
с элементами |
|
имеют одинаковый порядок |
|
5— 1023 |
65 |
/пХ/г. то для них можно найти матрицу суммы [С] того же порядка mX/t:
[А] -I- [В] = [С], |
(11.90) |
элементы которой сц определяются как |
|
Си'=ац + Ьц- |
£.(И.91) |
Сложение матриц коммутативно |
|
[А]-НВ] = [В] + [А]. |
(Н.92) |
и ассоциативно |
|
[А] + [В] -Ь [С]= ([А] + [В]) + [C]=[A]+([B]+[C]). (11.93)
Если число столбцов пА матрицы [А] = {aij} равно числу строк mjj матрицы [В] = {Ьік}, то можно опреде
лить матрицу произведения [С] = {Cüt} размером тА Х т в> элементы которой С{к вычисляются как
П
оік =У>ацЬ1к (при і = 1,2,...,«в). (11.94) /=1
Произведение матриц имеет смысл только при пА — = /пв . При этом матричное произведение имеет свой ства:
[А] ([В] [С] = ([А][В])[С]; |
|
|
([А] + [В]) [С] = |
[А] [С] + [В] [С]; |
(11.95) |
[А] ([В] + [С]) = |
[А] [В] + [А] [С]. |
|
В общем случае [А] [ В ]# [В] [А], т. е. умножение матриц некоммутативно. Более того, из существования произведения слева [А] [В] вовсе не следует существо вание произведения справа [В] [А]. Если для некоторой пары матриц существует равенство [А] [В] = [В] [А], то такие матрицы называются коммутирующими.
Пример 11.26. По данным примера 11.23 определить матрицу произведения для [TJ и [Т2].
При умножении [Т: ] на [Т2] слева получаем
М |
4 |
4 |
4 2 |
аи bii -f- al2 bti |
|
3 |
3 |
3 2 |
°21 |
"Б a22 ^21 |
|
66
4-4 + |
4-3 |
4-2 + |
4-2 |
28 16 |
3-4 + |
3-2 |
3-2 + |
3-2 |
18 12 |
При умножении [TJ иа [Т2] справа получаем
4 2 |
4 4 |
4-4 + 2-3 4-4 + 2-3 |
М И = 3 2 |
3 3 |
3-4 + 2-3 3 - 4 + 2 - 3 |
22 22
18 18
Следовательно, [Т2] и [Tt ] — некоммутирующие матрицы.
Если квадратная матрица [А] невырожденная, то обратной матрицей [А]-1 называется такая матрица, которая при перемножении в любом порядке с матрицей [А] дает в результате единичную матрицу [Е]:
[А] [А]-1 = [АГ1[А] = [Е]. |
(11.96) |
При вычислении обртаной матрицы [А ]-1 (процесс обращения квадратной невырожденной матрицы [А]) используются определитель JA) и присоединенная мат рица [АѴ]:
[АГ1 = [А Ѵ]:|А|. |
(И.97) |
Матрица [А], для которой транспонированная мат рица [А*] равна обратной [А]-1, называется ортого нальной; ее определитель всегда равен +1.
Пример 11.27. Рассчитать по данным |
примеров 11.23, 11.24 |
и 11.25 матрицу [Т]-1, обратную матрице [Т]: |
|
|
4 |
4 |
2 |
|
|
|
2 |
—4 |
2 |
|
|
[Т] = |
3 |
3 |
2 |
• |
ПѴ] = |
О |
|
2 |
—2 |
|
|
3 2 2 |
> |Т|=2; |
—3 |
4 |
О |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Т]-1 |
[Ту] |
1 |
—2 |
|
1 |
|
|
|||
|
0 |
|
1 — 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
I Т I |
—1,5 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ІІ.І1. |
Система линейных уравнений и ее решение в |
||||||||||
матричной форме. |
Система п уравнений первой степени |
||||||||||
(линейных |
уравнений) с п |
неизвестными |
хі; х2, |
хп |
|||||||
5' |
67 |
имеет следующий вид (при этом хотя бы одно Ь іф 0, т. е. система неоднородна):
ЯцЛ'і Г 0>\ч£а Н- ■■• ~Ь а ы х п ~
ГиД |
Гі2-А Н----- + Г/Ал |
Ьп |
|
или |
У, ацX/ — bt(i = 1,2 |
.....п). |
(11.98) |
|
і=і |
|
|
Для ее решения вводятся матрицы: [А] — квадрат ная матрица коэффициентов при неизвестных, [х] — мат рица (вектор-столбец) неизвестных, [В] — матрица (век тор-столбец) свободных членов:
аи а12 ’ • |
а1п |
*і |
|
; |
Ix] = |
а » і йл2 ’ |
^пп |
Хп |
гв) = |
|
(11.99) |
Используя правило умножения матриц, можно запи сать эту систему в матричной форме
[А][х] = [В]. |
(11.100) |
Для того чтобы найти матрицу неизвестных [х], не
обходимо и'достаточпо ѵмножить слева мятптні.ѵ ГЮ пя обратную матрицу [А]“1 (предполагается, что матрица
[А] невырожденная). Действительно,
[А]-1 [А] [х] = [АГ1[В]; |
|
|
[В] [х] = |
[АГ1[В]; |
(11. 101) |
[х] = |
[АГ1[В]. |
|
Определительматрицы [А] называется главным опре делителем системы (11.98). Если |Л ] ^ 0 (т. е. матрица [А] невырождена), то значение любого неизвестного определяется (правило Крамера) по формуле
*/ = И ,І: ИІ, |
(11.102) |